【題目】如圖,已知拋物線y=﹣ x2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,8)、B(8,0)和點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)O開(kāi)始沿OA方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)C,D同時(shí)出發(fā),當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)O時(shí),點(diǎn)C,D停止運(yùn)動(dòng).

(1)直接寫出拋物線的解析式:;
(2)求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式;當(dāng)t為何值時(shí),△CED的面積最大?最大面積是多少?
(3)當(dāng)△CED的面積最大時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)E除外),使△PCD的面積等于△CED的最大面積?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)y=﹣ x2+3x+8
(2)

解:∵點(diǎn)A(0,8)、B(8,0),

∴OA=8,OB=8,

令y=0,得:﹣ x2+3x+8=0,

解得:x1=8,x2=﹣2,

∵點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上,

∴點(diǎn)E(﹣2,0),

∴OE=2,

根據(jù)題意得:當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),BD=t,OC=t,

∴OD=8﹣t,

∴DE=OE+OD=10﹣t,

∴S= DEOC= (10﹣t)t=﹣ t2+5t,

即S=﹣ t2+5t=﹣ (t﹣5)2+ ,

∴當(dāng)t=5時(shí),S最大=


(3)

解:方法一:

由(2)知:當(dāng)t=5時(shí),S最大=

∴當(dāng)t=5時(shí),OC=5,OD=3,

∴C(0,5),D(3,0),

由勾股定理得:CD=

設(shè)直線CD的解析式為:y=kx+b,

將C(0,5),D(3,0),代入上式得:

k=﹣ ,b=5,

∴直線CD的解析式為:y=﹣ x+5,

過(guò)E點(diǎn)作EF∥CD,交拋物線與點(diǎn)P,如圖1,

設(shè)直線EF的解析式為:y=﹣ x+b,

將E(﹣2,0)代入得:b=﹣ ,

∴直線EF的解析式為:y=﹣ x﹣

將y=﹣ x﹣ ,與y=﹣ x2+3x+8聯(lián)立成方程組得:

,

解得: ,

∴P( ,﹣ );

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD,垂足為G,

∵當(dāng)t=5時(shí),SECD= = ,

∴EG=

過(guò)點(diǎn)D作DN⊥CD,垂足為N,且使DN= ,過(guò)點(diǎn)N作NM⊥x軸,垂足為M,如圖2,

可得△EGD∽△DMN,

即: ,

解得:DM=

∴OM= ,

由勾股定理得:MN= = ,

∴N( ),

過(guò)點(diǎn)N作NH∥CD,與拋物線交與點(diǎn)P,如圖2,

設(shè)直線NH的解析式為:y=﹣ x+b,

將N( , ),代入上式得:b= ,

∴直線NH的解析式為:y=﹣ x+

將y=﹣ x+ ,與y=﹣ x2+3x+8聯(lián)立成方程組得:

,

解得: , ,

∴P(8,0)或P( ),

綜上所述:當(dāng)△CED的面積最大時(shí),在拋物線上存在點(diǎn)P(點(diǎn)E除外),使△PCD的面積等于△CED的最大面積,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P( ,﹣ )或P(8,0)或P( ).

方法二:

由(2)知,C(0,5),D(3,0),∴l(xiāng)CD:y=﹣ x+5,

作PH⊥x軸,交CD于點(diǎn)H,

∵P在拋物線上,∴設(shè)P(6m,﹣18m2+18m+8),

∴H(6m,﹣10m+5),C(0,5),D(3,0),

SPCD= |(DX﹣CX)(PY﹣HY)|,

∵SCED= ,

,

∴3×|18m2﹣28m﹣3|=25,

①3×(18m2﹣28m﹣3)=25,

∴m1=﹣ ,m2= ,

∴6m1=﹣2(舍),6m2= ,

②3×(18m2﹣28m﹣3)=﹣25,

∴m1= ,m2= ,

∴6m1=8,6m2= ,

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P( ,﹣ )或P(8,0)或P(


【解析】解:(1)將點(diǎn)A(0,8)、B(8,0)代入拋物線y=﹣ x2+bx+c得: ,
解得:b=3,c=8,
∴拋物線的解析式為:y=﹣ x2+3x+8,
所以答案是:y=﹣ x2+3x+8;
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

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(1)求該拋物線的解析式;
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(3)在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若不存,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.( ,3)、(﹣ ,4)
B.( ,3)、(﹣ ,4)??
C.( , )、(﹣ ,4)
D.( , )、(﹣ ,4)

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