【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知直線l1:y= x與直線l2:y=﹣x+6相交于點M,直線l2與x軸相交于點N.
(1)求M,N的坐標.
(2)矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,邊AB在x軸上,矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個單位長度的速度移動,設矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S,移動的時間為t(從點B與點O重合時開始計時,到點A與點N重合時計時開始結束).直接寫出S與自變量t之間的函數(shù)關系式(不需要給出解答過程).
(3)在(2)的條件下,當t為何值時,S的值最大?并求出最大值.
【答案】
(1)
解:解方程組 ,
解得: ,
則M的坐標是:(4,2).
在解析式y(tǒng)=﹣x+6中,令y=0,解得:x=6,則N的坐標是:(6,0)
(2)
解:當0≤t≤1時,重合部分是一個三角形,OB=t,則高是 t,則面積是 ×t t= t2;
當1<t≤4時,重合部分是直角梯形,梯形的高是1,下底是: t,上底是: (t﹣1),根據(jù)梯形的面積公式可以得到:S= [ t+ (t﹣1)]= (t﹣ );
當4<t≤5時,過M作x軸的垂線,則重合部分被垂線分成兩個直角梯形,兩個梯形的下底都是2,上底分別是:﹣t+6和 (t﹣1),根據(jù)梯形的面積公式即可求得
S=﹣ t2+ t﹣ ;
當5<t≤6時,重合部分是直角梯形,與當1<t≤4時,重合部分是直角梯形的計算方法相同,則S= (13﹣2t);
當6<t≤7時,重合部分是直角三角形,則與當0≤t≤1時,解法相同,可以求得S= (7﹣t)2.
則:S=
(3)
解:在0≤t≤1時,函數(shù)值y隨t的增大而增大,則當t=1時,取得最大值是: ;
當1<t≤4時,函數(shù)值y隨t的增大而增大,則當t=4時,取得最大值是: (4﹣ )= ;
當4<t≤5時,是二次函數(shù),對稱軸t= ,則最大值是:﹣ ×( )2+ × ﹣ = ;
當5<t≤6時,函數(shù)值y隨t的增大而減小,所以函數(shù)一定小于 ;
同理,當6<t≤7時,y隨t的增大而減小,所以函數(shù)一定小于 .
所以函數(shù)的最大值是:
【解析】(1)解兩條直線的解析式組成的方程組的解,即可求得交點M的坐標,在y=﹣x+6中,令y=0即可求得點N的橫坐標,則N的坐標即可求解;(2)分成0≤t≤1,1<t≤4,4<t≤5,5<t≤6,6<t≤7五種情況,利用三角形的面積公式和梯形的面積公式,即可求得函數(shù)的解析式;(3)分別求得每種情況下函數(shù)的最值或函數(shù)值的范圍,即可確定.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點F在邊AC上,并且CF=2,點E為邊BC上的動點,將△CEF沿直線EF翻折,點C落在點P處,則點P到邊AB距離的最小值是 .
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點,BE⊥AC,垂足為點F,連接DF,分析下列四個結論:①△AEF~△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD= .其中正確的結論有( )
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個
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【題目】為了倡導節(jié)能低碳的生活,某公司對集體宿舍用電收費作如下規(guī)定:一間宿舍一個月用電量不超過a千瓦時,則一個月的電費為20元;若超過a千瓦時,則除了交20元外,超過部分每千瓦時要交 元.某宿舍3月份用電80千瓦時,交電費35元;4月份用電45千瓦時,交電費20元.
(1)求a的值;
(2)若該宿舍5月份交電費45元,那么該宿舍當月用電量為多少千瓦時?
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【題目】如圖,已知P是線段AB的黃金分割點,且PA>PB,若S1表示PA為一邊的正方形的面積,S2表示長是AB,寬是PB的矩形的面積,則S1S2 . (填“>”“=”或“<”)
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【題目】對于平面直角坐標系中的任意兩點P1(x1 , y1),P2(x2 , y2),我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離,記作d(P1 , P2).
(1)已知O為坐標原點,動點P(x,y)滿足d(O,P)=1,請寫出x與y之間滿足的關系式,并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形;
(2)設P0(x0 , y0)是一定點,Q(x,y)是直線y=ax+b上的動點,我們把d(P0 , Q)的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離.試求點M(2,1)到直線y=x+2的直角距離.
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【題目】已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形(用陰影表示),點B1在y軸上,點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上.若正方形A1B1C1D1的邊長為1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3 , 則點A3到x軸的距離是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】小明在學習“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn),將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊,使點A落在BC上的點E處,還原后,再沿過點E的直線折疊,使點A落在BC上的點F處,這樣就可以求出67.5°角的正切值是( )
A. +1
B. +1
C.2.5
D.
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