Question

如圖，直線AB經(jīng)過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，AB=4，半徑OC的延長線與過點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)D，OC=CD，BC=OD．點(diǎn)Q為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若∠BCQ=45°，求弦CQ的長．
（2）在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過程中，CQ的與直線AB相交于點(diǎn)P，問PO為何值時(shí)，△BCQ是等腰三角形；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得QP=QO？若存在，滿足條件的點(diǎn)有幾個(gè)？并求出相應(yīng)的∠BCP；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過B作BH⊥CQ，Q為垂足，由OC=CD，BC=OD，得到△OCB為等邊三角形，BC=2，則∠CQP=30°，分別在Rt△BCH，Rt△BQH中
計(jì)算出CH=BH=2×=，HQ=BH=即可．
（2）分類討論：當(dāng)BC為腰時(shí)，OB垂直平分CQ，得到PO=1；當(dāng)BC為底時(shí)，過Q作BC的垂線必過圓心O，過C作CM⊥OB，M為垂足，
證△CPM為等腰直角三角形，然后；
（3）分類討論：當(dāng)P在OB之間時(shí)，∠BCP=40°；當(dāng)P在O點(diǎn)左邊時(shí)（如圖），∠BCP=100度．當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，如圖，∠BCP=20°．
解答：解：（1）如圖，過B作BH⊥CQ，Q為垂足，
∵OC=CD，BC=OD．
∴△OCB為等邊三角形，BC=2，
∴∠COB=60°，
∴∠CQP=30°，
在Rt△BCH中，∠QCB=45°，
∴CH=BH=2×=，
在Rt△BQH中，HQ=BH=，
∴；

（2）當(dāng)BC為腰時(shí)，如圖，
∴OB垂直平分CQ，
∴PO=1（P點(diǎn)在點(diǎn)O右邊）；
當(dāng)BC為底時(shí)（如圖），
過Q作BC的垂線必過圓心O，過C作CM⊥OB，M為垂足，
∵∠CQB=∠COB=30°，
∴∠QCB=75°，
∴∠PCM=75°-30°=45°，
∴△CPM為等腰直角三角形，
∴；

（3）當(dāng)P在OB之間時(shí)，∠BCP=40°；
當(dāng)P在O點(diǎn)左邊時(shí)（如圖），∠BCP=100度．
當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，如圖，∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠P，
∴∠CQO=2∠P，
∴∠OCP=2∠P，
∴∠P=40°，
∴∠BCP=20°．


點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理；也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形三邊關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．