Question

如圖，直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線(xiàn)OB于E，連接EC、CD．
（1）求證：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若OA=10cm，AB=16cm，求tan∠CED的值．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)OA=OB，CA=CB，可以證明OC⊥AB，利用切線(xiàn)的判定定理，經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，得到AB是⊙O的切線(xiàn)；
（2）證得△BCD∽△BEC后利用相似三角形的性質(zhì)求得BD的長(zhǎng)，然后利用正切的定義表示出∠CED的正切值即可．

解答：解：（1）證明：如圖，連接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵OB=OA=10，BC=AC=8，
∴OC=OD=6，
∴BD=BO-OD=10-6=4，
易證，∠DCB=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴

DC

EC

=

BD

BC

=

4

8

=

1

2

．
∴tan∠CED=

DC

EC

=

1

2

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線(xiàn)的判定及性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，包括切線(xiàn)的判定，線(xiàn)段等量關(guān)系的證明及線(xiàn)段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．