Question

【題目】已知，內(nèi)接于，過點(diǎn)作的切線．

（1）如圖，求證：；

（2）如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，交優(yōu)弧于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；

（3）如圖，在（2）的條件下，若，，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）的半徑為

【解析】

（1）如下圖，根據(jù)切線和直徑所對圓周角為90°得到和，通過角度轉(zhuǎn)化可證；

（2）如下圖，設(shè)，推導(dǎo)可得出，，，從而證；

（3）如下圖，設(shè)，則，先證，從而得出，最后可利用的關(guān)系得出k的值和的半徑．

（1）證明：過點(diǎn)作直徑，連接．

∵是直徑，∴．∴．

∵=，∴．

∵是切線，∴．

∴．∴．

（2）證明：延長交于點(diǎn)，連接、、，

設(shè)．∵，，

∴．∴．

∵點(diǎn)為中點(diǎn)，不是直徑，

∴．∴．∴．

∵=，∴．

∵=，∴．∴．

∴AG∥BC．∴．∴．

∴．∴．

（3）解：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)

由（2）知于點(diǎn)，且，

∴．

∵BP∥MN，∴．∴．

∵，∴垂直平分．∴．

∴．

∴設(shè)，，∴．

∴．∴，．

∴．∴．

∵=，∴．∴．

∵，∴垂直平分．

∵，∴．∴．

∵，∴．

∵垂直平分，∴．∴．

∴．

∵，∴．

又∵，∴．

∴．∴，即，解得．

∴，即的半徑為．