Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°．
（Ⅰ）證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：作ME∥CD交SD于點(diǎn)E，則ME∥AB，ME⊥平面SAD， 連接AE，則四邊形ABME為直角梯形，
作MF⊥AB，垂足為F，則AFME為矩形，
設(shè)ME=x，則SE=x，AE= = ，
MF=AE= ，F(xiàn)B=2﹣x，
由MF=FBtan 60°，得 ，
解得x=1，即ME=1，
從而ME= ，
∴M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)．
（Ⅱ）解：MB= =2，
又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM為等邊三角形．
又由（Ⅰ）知M為SC中點(diǎn)，SM= ，SA= ，AM=2，
∴SA2=SM2+AM2 ， ∠SMA=90°，
取AM中點(diǎn)G，連結(jié)BG，取SA中點(diǎn)H，連結(jié)GH，
則BG⊥AM，GH⊥AM，
由此知∠BGH為二面角S﹣AM﹣B的平面角，
連結(jié)BH，在△BGH中，
BG= ，GH= ，BH= = ，
∴cos∠BGH= =﹣ ．
∴二面角S﹣AM﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】
【考點(diǎn)精析】利用棱錐的結(jié)構(gòu)特征對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方．