Question

（2013•河?xùn)|區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+8（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B，與y軸交于點(diǎn)C，tan∠ABC=2．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過點(diǎn)P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個(gè)單位長度？

Answer 1

分析：（1）易知點(diǎn)C的坐標(biāo)，那么在Rt△BOC中，根據(jù)tan∠ABC的值即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，通過對解析式進(jìn)行配方能得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）首先確定直線CD的解析式以及點(diǎn)E的坐標(biāo)，易得出△EOC是等腰直角三角形的結(jié)論，那么在四邊形ENPM（以解答圖為參考）中，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可以求出∠OPN的度數(shù)，那么PN的長就可以在Rt△OPN中求出，以此求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若拋物線向上平移，首先表示出平移后的函數(shù)解析式；當(dāng)x=-8時(shí)（與點(diǎn)E橫坐標(biāo)相同），求出新函數(shù)的函數(shù)值，若拋物線與線段EF有公共點(diǎn)，那么該函數(shù)值應(yīng)不大于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．當(dāng)x=4時(shí)（與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)相同），方法同上，結(jié)合上述兩種情況，即可得到函數(shù)圖象的最大平移單位．

解答：解：（1）由拋物線的解析式知，點(diǎn)C（0，8），即 OC=8；
Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ABC=8×

1

2

=4，則 點(diǎn)B（4，0）．
將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：

4a-2b+8=0 16a+4b+8=0

，解得

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，頂點(diǎn)D（1，9）；

（2）設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+8，
將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式，得：k=1；
∴直線CD：y=x+8，點(diǎn)E（-8，0）．
∴OC=OE=8，∠CEB=45°．
在四邊形EMPN中（如右圖），∠MPN=180°-∠CEB=135°（∠PME、∠PNO都是直角），
①當(dāng)∠OPM=75°時(shí)，∠OPN=135°-75°=60°；
在Rt△OPN中，ON=

1

2

OB=2，PN=

2 3

3

；
②當(dāng)∠OPQ=75°時(shí)，∠OPN=135°+75°-180°=30°，
在Rt△OPN中，ON=

1

2

OB=2，PN=2

3

；



綜上，存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為 （2，

2 3

3

）或（2，2

3

）；

（3）由（2）的直線CD解析式，可得：E（-8，0），F(xiàn)（4，12）．
設(shè)拋物線向上平移m個(gè)單位長度（m＞0），則拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+9+m；
當(dāng)x=-8時(shí)，y=m-72，
當(dāng)x=4時(shí)，y=m，
∴m-72≤0 或 m≤12，
∴0＜m≤72，
∴拋物線最多向上平移72個(gè)單位．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、四邊形的內(nèi)角和、解直角三角形等綜合知識．最后一個(gè)小題要結(jié)合圖形來進(jìn)行解答，若題目沒有明確“向上平移”，該題就需要進(jìn)行分類討論，要注意解題方法的總結(jié)和拓展．