【題目】已知在關(guān)于x的分式方程 ①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均為實數(shù),方程①的根為非負數(shù).

(1)求k的取值范圍;

(2)當方程②有兩個整數(shù)根x1、x2,k為整數(shù),且k=m+2,n=1時,求方程②的整數(shù)根;

(3)當方程②有兩個實數(shù)根x1、x2,滿足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k為負整數(shù)時,試判斷|m|≤2是否成立?請說明理由.

【答案】(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2;(2) x1=0,x2=3;(3)成立

【解析】試題分析:(1)先解出分式方程的解,根據(jù)分式的意義和方程的根為非負數(shù)得出k的取值;(2)先把k=m+2,n=1代入方程化簡,由方程有兩個整數(shù)實根得是完全平方數(shù),列等式得出關(guān)于m的等式,由根與系數(shù)的關(guān)系和兩個整數(shù)根x1、x2得出m=1﹣1,分別代入方程后解出即可;(3)根據(jù)(1)中k的取值和k為負整數(shù)得出k=﹣1,化簡已知所給的等式,并將兩根和與積代入計算求出m的值,做出判斷.

試題解析:(1關(guān)于x的分式方程的根為非負數(shù), ∴x≥0x≠1

∵x=≥0,且≠1解得k≥﹣1k≠1,

一元二次方程(2﹣kx2+3mx+3﹣kn=02﹣k≠0, ∴k≠2,

綜上可得:k≥﹣1k≠1k≠2

2一元二次方程(2﹣kx2+3mx+3﹣kn=0有兩個整數(shù)根x1、x2,且k=m+2,n=1時,

k=m+2,n=1代入原方程得:﹣mx2+3mx+1﹣m=0,即:mx2﹣3mx+m﹣1=0,

∴△≥0,即△=﹣3m2﹣4mm﹣1),且m≠0∴△=9m2﹣4mm﹣1=m5m+4),

∵x1、x2是整數(shù),km都是整數(shù), ∵x1+x2=3,x1x2==1﹣∴1﹣為整數(shù),

∴m=1﹣1, m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得:x2﹣3x+1﹣1=0x2﹣3x=0,

xx﹣3=0x1=0,x2=3;

m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得:﹣x2+3x﹣2=0, x2﹣3x+2=0, (x﹣1)(x﹣2=0, x1=1x2=2;

3|m|≤2不成立,理由是:

由(1)知:k≥﹣1k≠1k≠2, ∵k是負整數(shù), ∴k=﹣1,

2﹣kx2+3mx+3﹣kn=0且方程有兩個實數(shù)根x1x2,

∴x1+x2=﹣==﹣m,x1x2==

x1x1﹣k+x2x2﹣k=x1﹣k)(x2﹣k), x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2,

x12+x22═x1x2+k2, (x1+x22﹣2x1x2﹣x1x2=k2, (x1+x22﹣3x1x2=k2,

﹣m2﹣3×=﹣12, m2﹣4=1, m2=5, m=±, ∴|m|≤2不成立.

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