Question

以x為自變量的二次函數y=-x²+2x+m，它的圖象與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B，點A在點B的左邊，點O為坐標原點，
（1）求這個二次函數的解析式及點A，點B的坐標，畫出二次函數的圖象；
（2）在x軸上是否存在點Q，在位于x軸上方部分的拋物線上是否存在點P，使得以A，P，Q三點為頂點的三角形與△AOC相似（不包含全等）？若存在，請求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據C點坐標，可確定m的值，從而得到拋物線的解析式，令函數解析式的y=0，即可求得A、B的坐標．
（2）根據函數圖象可知，顯然∠PAQ不能是直角，已知以A，P，Q三點為頂點的三角形與△AOC相似但不全等，因此P、C不重合，即∠PAQ≠∠CAO，所以只考慮∠PAQ=∠ACO的情況，過A作∠PAQ=∠ACQ，交拋物線于點P，然后分兩種情況：
①∠PQA=∠COA=90°，此時PQ⊥x軸，可設出點Q的坐標，根據拋物線的解析式可表示出點P的坐標，進而根據相似三角形的比例線段求出點Q、P的坐標；
②∠APQ=∠COA=90°，設出點Q的坐標，然后表示出PA的長，根據相似三角形的比例線段即可求出此時點Q的坐標．

解答：解：（1）根據題意，把點C（0，3）代入y=-x²+2x+m，
解得m=3，
即二次根式的解析式為y=-x²+2x+3，
即-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點A，點B的坐標分別是（-1，0），（3，0）．

（2）假設存在符合題意的點P、Q，一定是∠PAQ=∠ACO；
∵若PAQ=∠CAO，則點P與點C重合，
點Q與點O重合，
∴△PAQ≌△CAO，不合題意；
∵若∠PAQ=∠COA=90°，顯然P不在拋物線上，
過A作AP，使∠PAO=∠ACO且與拋物線交于點P，
①若過點P作PQ₁⊥x軸交x軸于Q₁點，
設Q1（x₁，0），P（x₁，y₁），
∵∠CQ₁A=∠AOC，則△PQ₁A∽△AOC，
∴

AQ1

OC

=

Q1P

AO

，
即

x1+1

3

=-x12+2x1+3，
解得x₁=

8

3

，代入拋物線的解析式中，
得y₁=

11

9

，
∴Q₁（

8

3

，0)，P（

8

3

，

11

9

)，存在△PQ₁A∽△AOC；
②由①所得點P作PQ₂⊥AP交x軸于Q₂，
設Q₂（x₂，0）；
∵∠APQ₂∠COA，則△Q₂PA∽△AOC，
∴

AQ2

CA

=

PA

OC

，

x2+1

10

=

( 8 3 +1)2+( 11 9 )2

3

，x2=

83

27

．
∴Q₂（

83

27

，0），存在△PQ₂A∽△AOC；
綜上所述，存在符合條件的相似三角形，且Q、P的坐標為：Q₁（

8

3

，0)，Q₂（

83

27

，0），P（

8

3

，

11

9

)．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、相似三角形的判定和性質等知識．（3）題中，應根據相似三角形的不同對應頂點分類討論，這是此題的難點．