【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=12,弦AC=10,D是 的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求AE的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:連接OD,

∵D為 的中點(diǎn),

=

∴∠BOD=∠BAE,

∴OD∥AE,

∵DE⊥AC,

∴∠ADE=90°,

∴∠AED=90°,

∴OD⊥DE,

則DE為圓O的切線;


(2)解:過點(diǎn)O作OF⊥AC,

∵AC=10,

∴AF=CF= AC=5,

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,

∴四邊形OFED為矩形,

∴FE=OD= AB,

∵AB=12,

∴FE=6,

則AE=AF+FE=5+6=11.


【解析】(1)連接OD,由D為弧BC的中點(diǎn),得到兩條弧相等,進(jìn)而得到兩個(gè)同位角相等,確定出OD與AE平行,利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到OD與DE垂直,即可得證;(2)過O作OF垂直于AC,利用垂徑定理得到F為AC中點(diǎn),再由四邊形OFED為矩形,求出FE的長(zhǎng),由AF+EF求出AE的長(zhǎng)即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用勾股定理的概念和垂徑定理,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】a、b是給定的整數(shù),某同學(xué)分別計(jì)算x=-1,1,2,4時(shí)代數(shù)式ax+b的值,依次得到下列四個(gè)結(jié)果,已知其中3個(gè)是正確的,那么錯(cuò)誤的是(

A. B. a+b=5 C. 2a+b=7 D. 4a+b=14

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【題目】如圖,在△ABC中,AB=2,AO=BO,P是直線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠AOC=60°,當(dāng)△PAB是以BP為直角邊的直角三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為( )

A. ,1,2 B. ,,2 C. ,,1 D. ,2

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【題目】如圖,已知平面內(nèi)有兩條直線AB、CD,且AB∥CD,P為一動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到AB、CD之間時(shí),如圖(1),這時(shí)∠P與∠A、∠C有怎樣的關(guān)系?證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到圖(2)、圖(3)的位置時(shí),∠P、∠A、∠C又有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)分別寫出你的結(jié)論.

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【題目】在一條筆直的公路上有A、BC三地,A地在BC兩地之間.甲、乙兩輛汽車分別從BC兩地同時(shí)出發(fā),沿這條公路勻速相向行駛,甲勻速行駛1小時(shí)到達(dá)A地后繼續(xù)以相同的速度向C處行駛,到達(dá)C后停止,乙勻速行駛1.2小時(shí)后到達(dá)A地并停止運(yùn)動(dòng),甲、乙兩車離A地的距離y1y2(千米)與行駛時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)BC的距離為 km

求線段MN的函數(shù)表達(dá)式;

求點(diǎn)P的坐標(biāo),并說明點(diǎn)P的實(shí)際意義;

出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后,乙相距60km?

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【題目】(1)通過計(jì)算下列各式的值探究問題:

; ; ;

探究:對(duì)于任意非負(fù)有理數(shù)a,

; ;

探究:對(duì)于任意負(fù)有理數(shù)a,

綜上,對(duì)于任意有理數(shù)a,

(2)應(yīng)用(1)所得的結(jié)論解決問題:有理數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示,化簡(jiǎn):+|a+b|.

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【題目】如圖放置的兩個(gè)正方形,大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a,小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b(a>b),M在BC邊上,且BM=b,連接AM,MF,MF交CG于點(diǎn)P,將△ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADN,將△MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至△NGF,給出以下五個(gè)結(jié)論:①∠MAD=∠AND;②CP=b﹣ ;③△ABM≌△NGF;④S四邊形AMFN=a2+b2;⑤A,M,P,D四點(diǎn)共圓,其中正確的個(gè)數(shù)是( )

A.2
B.3
C.4
D.5

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【題目】已知:如圖,平行四邊形 ABCD中,O是CD的中點(diǎn),連接AO并延長(zhǎng),交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證:△AOD ≌ △EOC;

(2)連接AC,DE,當(dāng)∠B∠AEB _______ °時(shí),四邊形ACED是正方形?請(qǐng)說明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的邊OA、OC分別落在x軸、y軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且OA=8,OC=4,連接AC,將矩形OABC對(duì)折,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,折痕ED與BC交于點(diǎn)D,交OA于點(diǎn)E,連接AD,如圖①.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)和AD所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)⊙M的圓心M始終在直線AC上(點(diǎn)A除外),且⊙M始終與x軸相切,如圖②.
①求證:⊙M與直線AD相切;
②圓心M在直線AC上運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,能否與y軸也相切?如果能相切,求出此時(shí)⊙M與x軸、y軸和直線AD都相切時(shí)的圓心M的坐標(biāo);如果不能相切,請(qǐng)說明理由.

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