(2010•大連)如圖,拋物線F:y=ax2+bx+c(a>0)與y軸相交于點(diǎn)C,直線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸,將L1向上平移t個(gè)單位得到直線L2,設(shè)L1與拋物線F的交點(diǎn)為C、D,L2與拋物線F的交點(diǎn)為A、B,連接AC、BC.
(1)當(dāng),,c=1,t=2時(shí),探究△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)若△ABC為直角三角形,求t的值(用含a的式子表示);
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A’恰好在拋物線F的對(duì)稱軸上,連接A’C,BD,求四邊形A’CDB的面積(用含a的式子表示)

【答案】分析:(1)根據(jù)a、b、c的值,可確定拋物線的解析式,進(jìn)而可求出C點(diǎn)的坐標(biāo);根據(jù)t的值,可確定直線L2的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可得到A、B的坐標(biāo);根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),可求出直線AC、BC的斜率,此時(shí)發(fā)現(xiàn)兩條直線的斜率的乘積為-1,所以它們互相垂直,由此可判定△ABC是直角三角形;
(2)根據(jù)拋物線的解析式可知:C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c),那么直線L2的解析式為c+t,聯(lián)立拋物線的解析式可得到關(guān)于x的方程,那么方程的兩根即為A、B的橫坐標(biāo),可由根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的長(zhǎng);設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與L2的交點(diǎn)為F,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知AF=BF即F是AB中點(diǎn),若△ABC是直角三角形,則AB=2CF,由此可得到CF的表達(dá)式;設(shè)L2與y軸的交點(diǎn)為E,那么CE的長(zhǎng)即為E、C縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值,EF的長(zhǎng)即為拋物線對(duì)稱軸方程的絕對(duì)值,在Rt△CEF中,根據(jù)勾股定理即可求出t的值;
(3)若A′恰好在拋物線的對(duì)稱軸上,那么AB=2AA′;而A、A′關(guān)于y軸對(duì)稱,那么AA′=2A′E,即AB=2A′B=4A′E;根據(jù)拋物線的對(duì)稱性易知CD=2A′E,那么A′B平行且相等于CD,即四邊形A′BDC是平行四邊形,由AB=4EA′可求出b的值,而CD=A′B=-,平行四邊形的高為t,根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算方法即可求出四邊形A′CDB的面積.
解答:解:(1)當(dāng),c=1,
y=x2-x+1,
當(dāng)t=2時(shí),
A、B縱坐標(biāo)為3,
令y=3,解得x=-1或x=4,
故A(-1,3),B(4,3),C(0,1),
AC2=12+(3-1)2=5,BC2=42+(3-1)2=20,AB2=(4+1)2=25,
∴AC2+BC2=AB2
∴AC與BC垂直,
故△ABC是直角三角形.

(2)設(shè)AB交y軸于E,交拋物線對(duì)稱軸于M,則M為AB中點(diǎn),連接CM;
由方程c+t=ax2+bx+c得ax2+bx-t=0,
設(shè)方程的兩根為x1、x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得:
x1+x2=-,x1x2=-;
AB=|x1-x2|==
∴CM=AB=;
在Rt△CEM中,CE=t,EM=|-|;
∴t2+|-|2=(2,
解得t=

(3)因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好在拋物線F的對(duì)稱軸上,
∴對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),a,b異號(hào),
∴b<0,且AB=4EA′;
=-×4,
解得b=-;
∴CD=A′B=-,
∴四邊形A′CDB是平行四邊形,
則它的面積為-×t=
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、直角三角形的判定和性質(zhì)、拋物線的對(duì)稱性、勾股定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),難度較大.
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