Question

【題目】如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP⊥AD于點(diǎn)P，連接AC交NP于點(diǎn)Q，連接MQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）AM= ， AP= ． （用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)四邊形ANCP為平行四邊形時(shí)，求t的值
（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某時(shí)刻t，
①使四邊形AQMK為為菱形，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
②使四邊形AQMK為正方形，則AC等于．

Answer 1

【答案】
（1）8﹣2t；2+t
（2）

解：∵四邊形ANCP為平行四邊形時(shí)，CN=AP，

∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2

（3）

解：①存在時(shí)刻t=1，使四邊形AQMK為菱形．理由如下：

∵NP⊥AD，QP=PK，

∴當(dāng)PM=PA時(shí)有四邊形AQMK為菱形，

∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，

②要使四邊形AQMK為正方形．

∵∠ADC=90°，

∴∠CAD=45°．

∴四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，

∵AD=8，

∴CD=8，

∴AC=8 ．

【解析】解：（1）如圖1．

∵DM=2t，
∴AM=AD﹣DM=8﹣2t．
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于點(diǎn)P，
∴四邊形CNPD為矩形，
∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，
∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；
故答案為：8﹣2t，2+t．
（1）由DM=2t，根據(jù)AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t；先證明四邊形CNPD為矩形，得出DP=CN=6﹣t，則AP=AD﹣DP=2+t；（2）根據(jù)四邊形ANCP為平行四邊形時(shí)，可得6﹣t=8﹣（6﹣t），解方程即可；（3）①由NP⊥AD，QP=PK，可得當(dāng)PM=PA時(shí)有四邊形AQMK為菱形，列出方程6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），求解即可，②要使四邊形AQMK為正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．