Question

【題目】如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出結(jié)論“直角三角形中， 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”．

請根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問題：

（1）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交AB于點D，垂足為E，當(dāng)BD=5cm，∠B=30°時，△ACD的周長=　 　．

（2）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，那么BE：EA=　 　．

（3）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE=DC，AD、BE交于點P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的長．

Answer 1

【答案】（1）15cm；（2）3：1；（3）BQ=．

【解析】整體分析：

(1)由“直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”求AC的長；(2)連接AD，由“三線合一”得∠BAD=60°，利用直角三角形中的30°角所對的直角邊的性質(zhì)，分別把BE，EA用BD表示；(3)證明△BAE≌△ACD，得∠BPQ=60°，結(jié)合勾股定理求解.

解：(1)∵DE是線段BC的垂直平分線，∠ACB=90°，

∴CD=BD，AD=BD．

又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴AC=AB，

∴△ACD的周長=AC+AB=3BD=15cm．

故答案為15cm；

(2)連接AD，如圖所示．

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點，

∴∠BAD=60°．

又∵DE⊥AB，

∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=BD，EA=AD，

∵BD=AD，∴EA=AD=BD.

∴BE:EA=BD: AD，

∴BE:AE=3:1．

故答案為3:1．

(3)∵△ABC為等邊三角形．

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

在△BAE和△ACD中，

AE=CD，∠BAC=∠ACB，AB=AC，

∴△BAE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE=∠CAD．

∵∠BPQ為△ABP外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，

∴BQ===．