Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（1，0）．

（1）當(dāng)b＝2，c＝﹣3時，求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)最小值；

（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（m，e），C（3﹣m，e）且對任意實數(shù)x，函數(shù)值y都不小于﹣．

①求此時二次函數(shù)的解析式；

②若次函數(shù)與y軸交于點D，在對稱軸上存在一點P，使得PA+PD有最小值，求點P坐標(biāo)及PA+PD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x+1）2-4，當(dāng)x＝-1時，y最小值為-4；（2）①y＝x2﹣3x+2，②存在，P（，），2

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法以及配方法即可解決問題．

（2）①首先求出b、c（用a表示），想辦法列出不等式即可解決問題．

②根據(jù)解析式求得對稱軸，然后根據(jù)對稱性求得A的對稱點的坐標(biāo)，連接A′D交拋物線的對稱軸與點P．此時PA+PD＝A′D，則PA+PD最�。�

解：（1）將b＝2，c＝﹣3代入得：y＝ax2+2x﹣3．

將點A（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3，得a+2﹣3＝0，

∴a＝1．

∴y＝x2+2x﹣3，

∵y＝（x+1）2﹣4，

∴當(dāng)x＝﹣1時，y最小值為﹣4．

（2）①由題意可知：對稱軸．

∴，

∴b＝﹣3a，又∵a+b+c＝0，

∴c＝2a，

∴y＝ax2﹣3ax+2a

頂點縱坐標(biāo)為，

∵函數(shù)值y不小于﹣

∴a＞0，且，

∴a2﹣2a+1≤0，

∴（a﹣1）2≤0，

∵（a﹣1）2≥0，

∴a﹣1＝0，

∴a＝1．

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x+2；

②如圖所示：

求得A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標(biāo)，連接A′D交拋物線的對稱軸與點P．此時PA+PD＝A′D，則PA+PD最小，

∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣ ，

∴對稱軸為直線x＝，

∴A關(guān)于對稱軸的對稱點A′（2，0），

由y＝x2﹣3x+2可知D（0，2），

設(shè)直線A′D的解析式為y＝kx+n，

∴解得

∴直線A′D的解析式為y＝﹣x+2，

把x＝代入得，y＝，

∴P（，），

∵，

∴PA+PD的最小值為2