Question

【題目】如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖1），求證：M為AN的中點(diǎn)；
（2）將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；
（3）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，

∴DM=EM．

在△ADM和△NEM中，

∴ ．

∴△ADM≌△NEM．

∴AM=MN．

∴M為AN的中點(diǎn)．

（2）證明：如圖2，

∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，

∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，

∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三點(diǎn)在同一直線上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）△ACN仍為等腰直角三角形．

證明：如圖3，延長(zhǎng)AB交NE于點(diǎn)F，

∵AD∥NE，M為中點(diǎn)，

∴易得△ADM≌△NEM，

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE．

∵AD∥NE，

∴AF⊥NE，

在四邊形BCEF中，

∵∠BCE=∠BFE=90°

∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+∠ABC=180°

∴∠ABC=∠FEC

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．

【解析】（1）由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證到△ADM≌△NEM，從而證到M為AN的中點(diǎn)．（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．（3）延長(zhǎng)AB交NE于點(diǎn)F，易得△ADM≌△NEM，根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和，可得∠ABC=∠FEC，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．