Question

隨著“六一”臨近，兒童禮品開(kāi)始熱銷(xiāo)，某廠(chǎng)每月固定生產(chǎn)甲、乙兩種禮品共100萬(wàn)件，甲禮品每件成本15元，乙禮品每件成本12元，現(xiàn)甲禮品每件售價(jià)22元，乙禮品每件售價(jià)18元，且都能全部售出．
（1）若某月銷(xiāo)售收入2000萬(wàn)元，則該月甲、乙禮品的產(chǎn)量分別是多少？
（2）如果每月投入的總成本不超過(guò)1380萬(wàn)元，應(yīng)怎樣安排甲、乙禮品的產(chǎn)量，可使所獲得的利潤(rùn)最大？
（3）該廠(chǎng)在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：甲禮品售價(jià)每提高1元，銷(xiāo)量會(huì)減少4萬(wàn)件，乙禮品售價(jià)不變，不管多少產(chǎn)量都能賣(mài)出．在（2）的條件下，為了獲得更大的利潤(rùn)，該廠(chǎng)決定提高甲禮品的售價(jià)，并重新調(diào)整甲、乙禮品的生產(chǎn)數(shù)量，問(wèn)：提高甲禮品的售價(jià)多少元時(shí)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

Answer 1

解：（1）設(shè)生產(chǎn)甲禮品x萬(wàn)件，乙禮品（100-x）萬(wàn)件，
由題意得：22x+18（100-x）=2000，
解得：x=50，100-x=50，
答：甲、乙禮品的產(chǎn)量分別是50萬(wàn)件，50萬(wàn)件．

（2）設(shè)生產(chǎn)甲禮品x萬(wàn)件，乙禮品（100-x）萬(wàn)件，所獲得的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，
由題意得：15x+12（100-x）≤1380，
∴x≤60，
利潤(rùn)y=（22-15）x+（18-12）（100-x）=x+600，
∵y隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=60萬(wàn)件時(shí)，y有最大值660萬(wàn)元．
這時(shí)應(yīng)生產(chǎn)甲禮品60萬(wàn)件，乙禮品40萬(wàn)件．

（3）設(shè)提高甲禮品售價(jià)a元，
由題意得，y=（7+a）（60-4a）+6（40+4a）=-4a²+56a+660=-4（a-7）²+856，
∵-4＜0，
∴開(kāi)口向下，y有最大值856，
故當(dāng)a=7時(shí)，y有最大值856萬(wàn)元，
答：提高甲禮品的售價(jià)7元時(shí)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為856萬(wàn)元．
分析：（1）設(shè)生產(chǎn)甲禮品x萬(wàn)件，乙禮品（100-x）萬(wàn)件，根據(jù)收入=售價(jià)×產(chǎn)量列出方程求x的值即可；
（2）設(shè)生產(chǎn)甲禮品x萬(wàn)件，乙禮品（100-x）萬(wàn)件，所獲得的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，根據(jù)成本不超過(guò)1380萬(wàn)元求出x的取值范圍，然后根據(jù)利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷(xiāo)量，列出函數(shù)關(guān)系式，求y的最大值；
（3）設(shè)提高甲禮品售價(jià)a元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求最大值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意列出函數(shù)關(guān)系式并熟練掌握求二次函數(shù)及一次函數(shù)最大值的方法．