【題目】如圖,已知等邊△ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點(與點A、B不重合),直線l是經(jīng)過點P的一條直線,把△ABC沿直線l折疊,點B的對應(yīng)點是點B’.
(1)如圖1,當PB=4時,若點B’恰好在AC邊上,則AB’的長度為_____;
(2)如圖2,當PB=5時,若直線l//AC,則BB’的長度為 ;
(3)如圖3,點P在AB邊上運動過程中,若直線l始終垂直于AC,△ACB’的面積是否變化?若變化,說明理由;若不變化,求出面積;
(4)當PB=6時,在直線l變化過程中,求△ACB’面積的最大值.
【答案】(1)4;(2)5;(3)面積不變,S△ACB’=;(4)24+4
【解析】
(1)證明△APB′是等邊三角形即可解決問題;
(2)如圖2中,設(shè)直線l交BC于點E,連接B B′交PE于O,證明△PEB是等邊三角形,求出OB即可解決問題;
(3)如圖3中,結(jié)論:面積不變,證明B B′//AC即可;
(4)如圖4中,當PB′⊥AC時,△ACB′的面積最大,設(shè)直線PB′交AC于點E,求出B′E即可解決問題.
(1)如圖1,∵△ABC為等邊三角形,
∴∠A=60°,AB=BC=CA=8,
∵PB=4,
∴PB′=PB=PA=4,
∵∠A=60°,
∴△APB′是等邊三角形,
∴AB′=AP=4,
故答案為:4;
(2)如圖2,設(shè)直線l交BC于點E,連接B B′交PE于O,
∵PE∥AC,
∴∠BPE=∠A=60°,∠BEP=∠C=60°,
∴△PEB是等邊三角形,
∵PB=5,B、B′關(guān)于PE對稱,
∴BB′⊥PE,BB′=2OB,
∴OB=PB·sin60°=,
∴BB′=5,
故答案為:5;
(3)如圖3,結(jié)論:面積不變.
過點B作BE⊥AC于E,
則有BE=AB·sin60°=,
∴S△ABC==16,
∵B、B′關(guān)于直線l對稱,
∴BB′⊥直線l,
∵直線l⊥AC,
∴AC//BB′,
∴S△ACB’=S△ABC=16;
(4)如圖4,當B′P⊥AC時,△ACB′的面積最大,
設(shè)直線PB′交AC于E,
在Rt△APE中,PA=2,∠PAE=60°,
∴PE=PA·sin60°=,
∴B′E=B′P+PE=6+,
∴S△ACB最大值=×(6+)×8=24+4.
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【題目】如圖1,若點是線段上的動點(不與,重合),分別以、為邊向線段的同一側(cè)作等邊和等邊.
(1)圖1中,連接、,相交于點,設(shè),那么 ;
(2)如圖2,若點固定,將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于),此時的大小是否發(fā)生變化?請說明理由.
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【題目】某射箭隊準備從王方、李明二人中選拔1人參加射箭比賽,在選拔賽中,兩人各射箭10次的成績(單位:環(huán)數(shù))如下:
次數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
王方 | 7 | 10 | 9 | 8 | 6 | 9 | 9 | 7 | 10 | 10 |
李明 | 8 | 9 | 8 | 9 | 8 | 8 | 9 | 8 | 10 | 8 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),將下面兩個表格補充完整:
王方10次射箭得分情況
環(huán)數(shù) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
頻數(shù) | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ | |
頻率 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
李明10次射箭得分情況
環(huán)數(shù) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
頻數(shù) | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
頻率 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
(2)分別求出兩人10次射箭得分的平均數(shù);
(3)從兩人成績的穩(wěn)定性角度分析,應(yīng)選派誰參加比賽合適.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B,點D在y軸的負半軸上,若將△DAB沿直線AD折疊,點B恰好落在x軸正半軸上的點C處.
(1)求AB的長和點C的坐標;
(2)求直線CD的解析式;
(3)y軸上是否存在一點P,使得S△PAB=,若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,過點B,D分別向線段AE作垂線段BQ和DF,點Q和F是垂足,連結(jié)AB,DE,BD,BD交AE于點C,且AB=DE,AF=EQ.
(1)求證:△ABQ≌△EDF;
(2)求證:C是BD的中點.
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【題目】一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“書”、“ 香”、“ 歷”、“ 城”的四個小球,除漢字不同之外,小球沒有任何區(qū)別,每次摸球前先攪拌均勻.
(1)若從中任取一個球,球上的漢字剛好是 “書”的概率為__________.
(2)從中任取一球,不放回,再從中任取一球,請用樹狀圖或列表的方法,求取出的兩個球上的漢字能組成“歷城”的概率.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AC為直徑,弧AE=弧BD,BE⊥DC交DC的延長線于點E.
(1)求證:∠1=∠BCE;
(2)求證:BE是⊙O的切線;
(3)若EC=1,CD=3,求cos∠DBA.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點O為坐標原點,直線y=-x+4與x軸交于點A,與y軸交于點B.
(1)求點A,B的坐標;
(2)在直線AB上是否存在點P,使△OAP是以OA為底邊的等腰三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若將Rt△AOB折疊,使OB邊落在AB上,點O與點D重合,折痕為BC,求點C的坐標。
(4)直接寫出折痕BC所在直線的表達式.
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【題目】如圖,將邊長為4的正方形置于平面直角坐標系第一象限,使AB邊落在x軸正半軸上,且點A的坐標是(1,0).
(1)直線y=x﹣經(jīng)過點C,且與x軸交于點E,求四邊形AECD的面積;
(2)若直線l經(jīng)過點E,且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分,求直線l的函數(shù)表達式.
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