Question

【題目】某商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的手機(jī)共110部，銷(xiāo)售一部A型手機(jī)比銷(xiāo)售一部B型手機(jī)獲得的利潤(rùn)多50元，銷(xiāo)售相同數(shù)量的A型手機(jī)和B型手機(jī)獲得的利潤(rùn)分別為3000元和2000元，其中A型手機(jī)的進(jìn)貨量不超過(guò)B型手機(jī)的2倍，且商店最多購(gòu)進(jìn)B型手機(jī)50臺(tái)．

（1）求每部A型手機(jī)和B型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)分別為多少元？

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)B型手機(jī)n部，銷(xiāo)售手機(jī)的總利潤(rùn)為y元，怎么進(jìn)貨才能使銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大？

（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)B型手機(jī)出廠價(jià)下調(diào)m（30＜m＜70）元．若商店保持兩種手機(jī)的售價(jià)不變，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出手機(jī)銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案．

Answer 1

【答案】（1）每部A型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為150元，每部B型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為100元；

（2）購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)73部、B型手機(jī)37部時(shí)，才能使銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大；

（3）購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)60部、B型手機(jī)50部時(shí)銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大．

【解析】

（1）設(shè)每部A型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為x元，每部B型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元，根據(jù)題意列出方程組求解；
（2）據(jù)題意得，y=A型手機(jī)的利潤(rùn)+B型手機(jī)的利潤(rùn)=-50n+16500，利用不等式求出n的范圍，又因?yàn)?/span>y=-50x+16500是單調(diào)遞減函數(shù)，所以n取37，y取最大值；
（3）據(jù)題意得，y=150（110-n）+（100+m）n，即y=（m-50）n+16500，分三種情況討論，①當(dāng)30＜m＜50時(shí)，y隨n的增大而減小，②m=50時(shí)，m-50=0，y=16500，③當(dāng)50＜m＜70時(shí)，m-50＞0，y隨x的增大而增大，分別進(jìn)行求解．

解：（1）設(shè)每部A型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為x元，每部B型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元，

根據(jù)題意，得： ，

解得： ，

答：每部A型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為150元，每部B型手機(jī)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為100元；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)B型手機(jī)n部，則購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)（110﹣n）部，

則y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500，

其中，，即，

∴y關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣50n+16500 （）；

∵，

∴一次函數(shù)y隨n的增大而減小，

∵，且n為整數(shù)，

∴當(dāng)n＝37時(shí)，y取得最大值，最大值為（元），

∴（臺(tái)）

答：購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)73部、B型手機(jī)37部時(shí)，才能使銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大；

（3）設(shè)購(gòu)進(jìn)B型手機(jī)n部，則購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)（110﹣n）部，

根據(jù)題意，得：，

其中，（n為整數(shù)），

①當(dāng)30＜m＜50時(shí)，y隨n的增大而減小，

∴當(dāng)n＝37時(shí)，y取得最大值，

即購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)73部、B型手機(jī)37部時(shí)銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大；

②當(dāng)m＝50時(shí)，m﹣50＝0，y＝16500，

即商店購(gòu)進(jìn)B型電腦數(shù)量滿足的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn)；

③當(dāng)50＜m＜70時(shí)，y隨n的增大而增大，

∴當(dāng)n＝50時(shí)，y取得最大值，

即購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)60部、B型手機(jī)50部時(shí)銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大．