Question

【題目】 （本小題8分）已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點（不與B，C點重合），∠ADE＝45°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y=x2-x+1；（3）AE的長為2-或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，易證△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，對應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當△ADE是等腰三角形時，因為三角形的腰和底不明確，所以應(yīng)分AD=DE，AE=DE，AD=AE三種情況討論求出滿足題意的AE的長即可．

試題解析：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=∠ADE=45°，

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

由（1）得△ABD∽△DCE，

∴

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴BC=，DC=-x，EC=1-y，

∴

∴y=x2-x+1

（3）當AD=DE時，△ABD≌△CDE，

∴BD=CE，

∴x=1-y，即 x-x2=x，∵x≠0，

∴等式左右兩邊同時除以x得：x=-1

∴AE=1-x=2-，

當AE=DE時，DE⊥AC，此時D是BC中點，E也是AC的中點，

所以，AE=；

當AD=AE時，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；

綜上，在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，

AE的長為2-或．