Question

已知：如圖，在△ABC中，如果∠A是銳角，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=

1

2

∠A．
求證：BD=CE．

Answer 1

分析：首先證明△BCF≌△CBG，再得出∠BDF=∠BEC進(jìn)而得出△BDF≌△CEG問(wèn)題得證．

解答：證法一：如圖1，作CG⊥BE于G點(diǎn)，作BF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)．
∵CG⊥BE，BF⊥CD，
∴∠F=∠CGB=90°，
在△BCF和△CBG中，

∠F=∠CGB=90° ∠DCB=∠EBC BC=BC

，
∴△BCF≌△CBG（AAS），
∴BF=CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，
∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
∵在△BDF和△CEG中，

∠F=∠CGE ∠GEC=∠FDB BF=CG

，
∴△BDF≌△CEG（AAS），
∴BD=CE．

證法二：如圖2，以C為頂點(diǎn)作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F點(diǎn)．
∵在△BDC和△CFB中，

∠FCB=∠DBC BC=BC ∠FBC=∠DCB

∴△BDC≌△CFB（SAS），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∴∠ADC=∠CFE，
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，
∠FEC=∠A+∠ABE，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠FEC=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BD=CE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．