Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BC=

1

2

AB，P是邊AC上的一個(gè)點(diǎn)，AP=

1

2

PD，∠APD=∠ABC，連接DC并延長交邊AB的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：AD∥BC；
（2）設(shè)AP=x，BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）連接BP，當(dāng)△CDP與△CBE相似時(shí)，試判斷BP與DE的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用相似比相等證明△DAP∽△ABC，求得∠DAP=∠ACB，然后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，推出結(jié)論．
（2）設(shè)AP=x，則AD=2x．由已知BC=

1

2

AB，AB=4，得出BC=2．利用AD∥BC，從而得出

y

y+4

=

2

2x

，整理，得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

4

x-1

．
（3）由圖形得知，當(dāng)△CDP與△CBE相似時(shí)，∠PCD=∠BCE，推出

BE

BC

=

DP

PC

，即

y

2

=

2x

4-x

，求得x、y的值，從而得出BP∥DE．

解答：解：
（1）證明：∵BC=

1

2

AB，AP=

1

2

PD，∴

BC

AB

=

AP

PD

．
（1分）
又∵∠APD=∠ABC，∴△APD∽△ABC．（1分）
∴∠DAP=∠ACB，（1分）
∴AD∥BC．（1分）

（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=PD．（1分）
∵AP=x，∴AD=2x．（1分）
∵BC=

1

2

AB，AB=4，∴BC=2．
∵AD∥BC，∴

BE

AE

=

BC

AD

，即

y

y+4

=

2

2x

．（1分）
整理，得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

4

x-1

．（1分）
定義域?yàn)?＜x≤4．（1分）

（3）解：平行．（1分）
證明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD＞∠E，
∴當(dāng)△CDP與△CBE相似時(shí)，∠PCD=∠BCE．（1分）
∴

BE

BC

=

DP

PC

，即

y

2

=

2x

4-x

．（1分）
把y=

4

x-1

代入，整理得x²=4．
∴x=2，x=-2（舍去）．（1分）
∴y=4，
∴AP=CP，AB=BE，（1分）
∴BP∥CE，即BP∥DE．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)以及平行線的判定等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)．