【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線AB與軸交于點A、與軸交于點B,且∠ABO=45°,A(-6,0),直線BC與直線AB關(guān)于軸對稱.
(1)求△ABC的面積;
(2)如圖2,D為OA延長線上一動點,以BD為直角邊,D為直角頂點,作等腰直角△BDE,求證:AB⊥AE;
(3)如圖3,點E是軸正半軸上一點,且∠OAE=30°,AF平分∠OAE,點M是射線AF上一動點,點N是線段AO上一動點,判斷是否存在這樣的點M,N,使OM+NM的值最?若存在,請寫出其最小值,并加以說明.
【答案】(1)36;(2)證明見解析;(3)3,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)直線與坐標軸的交點易得A,C的坐標,從而得出AC=12,OB=6,根據(jù)三角形面積公式可求解;
(2) 過E作EF⊥x軸于點F,延長EA交y軸于點H,證△DEF≌△BDO,得出EF=OD=AF,有,得出∠BAE=90°.
(3)由已知條件可在線段OA上任取一點N,再在AE作關(guān)于OF的對稱點,當點N運動時,最短為點O到直線AE的距離.再由,在直角三角形中,
即可得解.
解:(1)由已知條件得:
AC=12,OB=6
∴
(2)過E作EF⊥x軸于點F,延長EA交y軸于點H,
∵△BDE是等腰直角三角形,
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF軸,
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE=90°
(3)由已知條件可在線段OA上任取一點N,再在AE作關(guān)于OF的對稱點,當點N運動時,最短為點O到直線AE的距離,即點O到直線AE的垂線段的長,
∵,OA=6,
∴OM+ON=3
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【題目】閱讀下面材料:
如圖,把沿直線平行移動線段的長度,可以變到的位置;
如圖,以為軸,把翻折,可以變到的位置;
如圖,以點為中心,把旋轉(zhuǎn),可以變到的位置.
像這樣,其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的.這種只改變位置,不改變形狀大小的圖形變換,叫做三角形的全等變換.
回答下列問題:
①在圖中,可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法怎樣變化,使變到的位置;
②指圖中線段與之間的關(guān)系,為什么?
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【題目】如圖,△ABC的面積為1.第一次操作:分別延長AB,BC,CA至點A1,B1,C1,使A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,順次連結(jié)A1,B1,C1,得到△A1B1C1.第二次操作:分別延長A1B1,B1C1,C1A1至點A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,順次連結(jié)A2,B2,C2,得到△A2B2C2.…按此規(guī)律,要使得到的三角形的面積超過2013,最少經(jīng)過_____次操作.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,且∠ABC=60°,D為△ABC內(nèi)一點 ,且DA=DB,E為△ABC外一點,BE=AB,且∠EBD=∠CBD,連DE,CE. 下列結(jié)論:①∠DAC=∠DBC;②BE⊥AC ;③∠DEB=30°. 其中正確的是( )
A.①...B.①③...C.② ...D.①②③
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【題目】一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖所示,其中背水面的整個坡面是長為米、寬為米的矩形.現(xiàn)需將其整修并進行美化,方案如下:①將背水坡的坡度由改為;②用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成塊相同的矩形區(qū)域,依次相間地種草與栽花.
(1)求整修后背水坡面的面積;
(2)如果栽花的成本是每平方米元,種草的成本是每平方米元,那么種植花草至少需要多少元?
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【題目】“萬州古紅桔”原名“萬縣紅桔”,古稱丹桔(以下簡稱為紅桔),種植距今至少已有一千多年的歷史,“玫瑰香橙”(源自意大利西西里島塔羅科血橙,以下簡稱香橙)現(xiàn)已是萬州柑橘發(fā)展的主推品種之一.某水果店老板在2017年11月份用15200元購進了400千克紅桔和600千克香橙,已知香橙的每千克進價比紅桔的每千克進價2倍還多4元.
(1)求11月份這兩種水果的進價分別為每千克多少元?
(2)時下正值柑橘銷售旺季,水果店老板決定在12月份繼續(xù)購進這兩種水果,但進入12月份,由于柑橘的大量上市,紅桔和香橙的進價都有大幅下滑,紅桔每千克的進價在11月份的基礎(chǔ)上下降了m%,香橙每千克的進價在11月份的基礎(chǔ)上下降了m%,由于紅桔和“玫瑰香橙”都深受庫區(qū)人民歡迎,實際水果店老板在12月份購進的紅桔數(shù)量比11月份增加了m%,香橙購進的數(shù)量比11月份增加了2m%,結(jié)果12月份所購進的這兩種柑橘的總價與11月份所購進的這兩種柑橘的總價相同,求m的值.
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【題目】如圖,在△ACB中,∠ACB=90゜,CD⊥AB于D.
(1)求證:∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F,求證:∠CEF=∠CFE.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=6cm,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動,同時點Q在線段CA上由點C向點A運動.
(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經(jīng)過1秒,△BPD與△CQP是否全等?請說明理由;
(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為多少時,能夠使△BPD與△CQP全等?
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【題目】如圖,在中,,的垂直平分線交于,交于,射線上,并且.
()求證:;
()當的大小滿足什么條件時,四邊形是菱形?請回答并證明你的結(jié)論.
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