閱讀材料：如圖①，在平面上，給定了半徑為r的⊙O，對(duì)于任意一點(diǎn)P，在射線(xiàn)OP上取一點(diǎn)Q，使得OP•OQ=r2，這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)Q的變換叫做反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)Q叫做互為反演點(diǎn)．
解答問(wèn)題：如圖②，⊙O內(nèi)、外各有一點(diǎn)A和B，它們的反演點(diǎn)分別為C和D，連接AB、CD，試判斷∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
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分析：由于A、B的反演點(diǎn)分別為C、D，所以O(shè)D•OB=OA•OC=r2，將所得乘積式化為比例式，再加上公共角∠O，即可證得△OAB∽△ODC，由此可得∠B、∠C應(yīng)該相等．
解答：解：∠B=∠C．（1分）（若不寫(xiě)此結(jié)論，后面證得結(jié)果，不扣分）
理由如下：
∵點(diǎn)A、點(diǎn)C互為反演點(diǎn)，∴OA•OC=r2，（3分）
同理得OB•OD=r2；（4分）
∴OA•OC=OB•OD，（5分）
即
OA
OD
=
OB
OC
，（6分）
又∵∠O=∠O，
∴△OAB∽△ODC，（7分）
∴∠B=∠C．（7分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，讀懂材料的含義是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

（2013•益陽(yáng)）閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp，yp）．由xp-x1=x2-xp，得xp=
x1+x2
2
，同理yp=
y1+y2
2
，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)．由勾股定理得AB2=
.
x2-x1
  
.
2+
.
y2-y1
  
.
2，所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為AB=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
．
注：上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．
解答下列問(wèn)題：
如圖2，直線(xiàn)l：y=2x+2與拋物線(xiàn)y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（3）將直線(xiàn)l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線(xiàn)l′，求兩直線(xiàn)l與l′的距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試（湖南益陽(yáng)卷）數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得，同理，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．由勾股定理得，所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為．

注：上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．

解答下列問(wèn)題：

如圖2，直線(xiàn)l：y=2x+2與拋物線(xiàn)y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；

（3）將直線(xiàn)l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線(xiàn)l′，求兩直線(xiàn)l與l′的距離．

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

．閱讀材料：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

 ，中點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，得，

同理，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

由勾股定理得，所以、兩點(diǎn)

間的距離公式為．

注：上述公式對(duì)、在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．

   

解答下列問(wèn)題：

如圖10，直線(xiàn)：與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

過(guò)作軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)，求證為直角三角形；

（3）將直線(xiàn)平移到點(diǎn)時(shí)得到直線(xiàn)，求兩

直線(xiàn)與的距離．

 


.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年湖南省益陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp，yp）．由xp-x1=x2-xp，得xp=，同理，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．由勾股定理得AB2=，所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為．
注：上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．
解答下列問(wèn)題：
如圖2，直線(xiàn)l：y=2x+2與拋物線(xiàn)y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（3）將直線(xiàn)l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線(xiàn)l′，求兩直線(xiàn)l與l′的距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

閱讀材料：

    如圖(1)，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，垂足為P，求證：S四邊形ABCD＝AC·BD．

    證明：∵AC⊥BD　　∴

    ∴S四邊形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝AC·PD＋AC·PB＝AC(PD＋PB)＝AC ·BD

解答問(wèn)題：

(1)上述證明得到的性質(zhì)可敘述為：    ▲   

(2)已知：如圖(2)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD且相交于點(diǎn)P，AD＝3cm，BC＝7cm，利用上述的性質(zhì)求梯形的面積．

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