Question

（2013•益陽）閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P的坐標(biāo)為（x_p，y_p）．由x_p-x₁=x₂-x_p，得x_p=

x1+x2

2

，同理yp=

y1+y2

2

，所以AB的中點坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．由勾股定理得AB²=

.

x2- x1

.

2+

.

y2- y1

.

2，所以A、B兩點間的距離公式為AB=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

．
注：上述公式對A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．
解答下列問題：
如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x²交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)及C點的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（3）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=2x+2與拋物線y=2x²交于A、B兩點，直接聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，進而得出C點坐標(biāo)即可；
（2）利用兩點間距離公式得出AB的長，進而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；
（3）點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，利用A，C點坐標(biāo)得出H點坐標(biāo)，進而得出CG=AH，求出即可．

解答：（1）解：由

y=2x+2 y=2x2

，
解得：

x1= 1- 5 2 y1=3- 5

，

x2= 1+ 5 2 y2=3+ 5

．
則A，B兩點的坐標(biāo)分別為：A（

1- 5

2

，3-

5

），B（

1+ 5

2

，3+

5

），
∵P是A，B的中點，由中點坐標(biāo)公式得P點坐標(biāo)為（

1- 5 2 + 1+ 5 2

2

，

3- 5 +3+ 5

2

），即（

1

2

，3），
又∵PC⊥x軸交拋物線于C點，將x=

1

2

代入y=2x²中得y=

1

2

，
∴C點坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）．

（2）證明：由兩點間距離公式得：
AB=

( 1- 5 2 - 1+ 5 2 )2+[(3- 5 )-(3+ 5 )2

=5，PC=|3-

1

2

|=

5

2

，
∴PC=PA=PB，
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC為直角三角形．

（3）解：過點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，
則H點的坐標(biāo)為（

1

2

，3-

5

），
∴S_△PAC=

1

2

AP•CG=

1

2

PC•AH，
∴CG=AH=|

1- 5

2

-

1

2

|=

5

2

．
又直線l與l′之間的距離等于點C到l的距離CG，
∴直線l與l′之間的距離為

5

2

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及兩點之間距離公式和兩函數(shù)交點坐標(biāo)求法等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出H點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．