Question

【題目】如圖：正方形OABC置于坐標(biāo)系中，B的坐標(biāo)是（-4，4），點(diǎn)D是邊OA上一動(dòng)點(diǎn)，以OD為邊在第一象限內(nèi)作正方形ODEF．

（1）CD與AF有怎樣的位置關(guān)系，猜想并證明；

（2）當(dāng)OD=______時(shí)，直線CD平分線段AF；

（3）在OD=2時(shí)，將正方形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α°＜180°），求當(dāng)C、D、E共線時(shí)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）CD⊥AF，理由見解析；（2）4-4；（3）（-1，）或（-1，-）．

【解析】

（1）證明△COD△AOF，可得∠OCD=∠OAF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：∠AGD=∠DOC=90°，從而得結(jié)論；

（2）如圖2，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得：AC=CF，列方程可得結(jié)論；

（3）分兩種情況：①如圖3，當(dāng)D在第二象限時(shí)，過D作DG⊥x軸于G，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得DG和OG的長，由此得D的坐標(biāo)；

②如圖4，當(dāng)D在第三象限時(shí)，同理可得結(jié)論．

解：（1）CD⊥AF，理由是：

如圖1，延長CD交AF于G，

∵四邊形OABC和ODEF是正方形，

∴AO=OC，∠COD=∠AOF=90°，OF=OD，

∴△COD△AOF（SAS），

∴∠OCD=∠OAF，

∵∠ADG=∠CDO，

∴∠AGD=∠DOC=90°，

∴CD⊥AF；

（2）設(shè)OD=x，連接AC，如圖2，

當(dāng)直線CD平分線段AF時(shí)，AC=CF，

∵B的坐標(biāo)是（-4，4），

∴AC=4，

∴4=4+x，

x=4-4，

則當(dāng)OD=4-4時(shí)，直線CD平分線段AF；

故答案為：4-4；

（3）分兩種情況：

①如圖3，當(dāng)D在第二象限時(shí)，過D作DG⊥x軸于G，

∵C、D、E共線，

∴∠CDO=∠ODE=90°，

Rt△ODC中，OD=2，OC=4，

∴∠OCD=30°，CD=2，

∴DG=CD=，CG=3，

∴OG=4-3=1，

∴D（-1，），

②如圖4，當(dāng)D在第三象限時(shí)，過D作DG⊥x軸于G，

同理得：OG=1，DG=，

∴D（-1，-），

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-1，）或（-1，-）．