Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，AC平分∠BAF且交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)E，連接BC，CF．

（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的長(zhǎng)；
（3）求證：AF+2DF=AB．

Answer 1

【答案】
（1）解：

連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AF，

∴∠D=90°，

∴∠ACB=∠D，

∵AC平分∠BAF，

∴∠BAC=∠CAD，

∴△ABC∽△ACD，

∴∠ABC=∠ACD，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠ACD，

∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切線(xiàn)

（2）解：∵AD=6，DE=8，

∴AE= =10，

∵OC∥AD，

∴∠OCE=∠ADE，

∴△OCE∽△ADE，

∴ ，

即 ，

∴r= ，

∴BE=10﹣ =

（3）解：過(guò)C作 CG⊥AE于G，

在△ACG與△ACD中，

，

∴△ACG≌△ACD，

∴AG=AD，CG=CD，

∵BC=CF，

在Rt△BCG與Rt△FCD中，

，

∴Rt△BCG≌Rt△FCD，

∴BG=FD，

∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB，

即AF+2DF=AB．

【解析】（1）連接OC，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，求得∠ACB=∠D，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到∠BAC=∠CAD，通過(guò)相似三角形得到∠ABC=∠ACD，等量代換得到∠OCB=∠ACD，求出∠OCD=90°，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到AE= =10，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，代入數(shù)據(jù)得到r= ，于是得到結(jié)論；（3）過(guò)C作 CG⊥AE于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AD，CG=CD，推出Rt△BCG≌Rt△FCD，由全等三角形的性質(zhì)得到BG=FD，等量代換即可得到結(jié)論．