【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對角線BD(不含B點)上任意一點,將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.設點N的坐標為(m,n).
(1)若建立平面直角坐標系,滿足原點在線段BD上,點B(﹣1,0),A(0,1).且BM=t(0<t≤2),則點D的坐標為 ,點C的坐標為 ;請直接寫出點N縱坐標n的取值范圍是 ;
(2)若正方形的邊長為2,求EC的長,以及AM+BM+CM的最小值.(提示:連結MN,,)
【答案】(1)D(1,0),C(0,﹣1);0<n≤;(2)EC=+,AM+BM+CM的最小值為+
【解析】
(1)如圖1,以直線BD為x軸,直線AC為y軸,建立平面直角坐標系,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD,由點B(1,0),A(0,1),于是得到D(1,0),C(0,1);過N作NH⊥BD于h,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠NBH=60°,BM=BN,求得NH=BN=t,于是得到結論;
(2)如圖所示,連接MN,過E作EH⊥BC,交CB的延長線于H,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BM=BN,∠NBM=60°,求得△BMN是等邊三角形,求得MN=BM,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BE=BA,∠ABE=60°,求得∠ABM=∠EBN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=EN,求得AM+BM+CM=EN+MN+CM,當E,N,M,C在同一直線上時,AM+BM+CN的最小值是CE的長,利用勾股定理即可得到結論.
解:(1)如圖1,以直線BD為x軸,直線AC為y軸,建立平面直角坐標系,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,
∵點B(﹣1,0),A(0,1),
∴D(1,0),C(0,﹣1);
過N作NH⊥BD于h,
∴∠NHB=90°,
∵將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,
∴∠NBH=60°,BM=BN,
∴NH=BN=t,
∵0<t≤2,
∴點N縱坐標n的取值范圍是0<n≤;
(2)如圖2所示,連接MN,過E作EH⊥BC,交CB的延長線于H,
由旋轉(zhuǎn)可得,BM=BN,∠NBM=60°,
∴△BMN是等邊三角形,
∴MN=BM,
∵△ABE是等邊三角形,
∴BE=BA,∠ABE=60°,
∴∠ABM=∠EBN,
∴△ABM≌△EBN(SAS),
∴AM=EN,
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM,
∴當E,N,M,C在同一直線上時,AM+BM+CN的最小值是CE的長,
又∵∠ABE=60°,∠ABH=90°,
∴∠EBH=30°,
∴Rt△EBH中,EH=EB=×2=1,
∴BH===,
∴CH=2+,
∴Rt△CEH中,CE====;
∴AM+BM+CM的最小值為+.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】養(yǎng)成良好的早鍛煉習慣,對學生的學習和生活都非常有益,某中學為了了解七年級學生的早鍛煉情況,校政教處在七年級隨機抽取了部分學生,并對這些學生通常情況下一天的早鍛煉時間x(分鐘)進行了調(diào)查.現(xiàn)把調(diào)查結果分成A、B、C、D四組,如下表所示,同時,將調(diào)查結果繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:
(1)補全頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖;
(2)所抽取的七年級學生早鍛煉時間的中位數(shù)落在 區(qū)間內(nèi);
(3)已知該校七年級共有1200名學生,請你估計這個年級學生中約有多少人一天早鍛煉的時間不少于20分鐘.(早鍛煉:指學生在早晨7:00~7:40之間的鍛煉)
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°.得到△ADE,連接BD,CE交于點F.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)求∠ACE的度數(shù);
(3)求證:四邊形ABFE是菱形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】探究:如圖1,直線AB、BC、AC兩兩相交,交點分別為點A、B、C,點D在線段AB上,過點D作DE∥BC交AC于點E,過點E作EF∥AB交BC于點F.若∠ABC=40°,求∠DEF的度數(shù).
請將下面的解答過程補充完整.
解:∵DE∥BC(已知)
∴______(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)
∵EF∥AB(已知)
∴∠ABC=∠EFC(______)
∴∠DEF=∠ABC=40°(等量代換)
應用:如圖2,直線AB、BC、AC兩兩相交,交點分別為點A、B、C,點D在線段AB的延長線R上,過點D作DE∥BC交AC于點E,過點E作EF∥AB交BC于點F,若∠ABC=50°,求∠DEF的度數(shù).
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=mx+1的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0),且與反比例函數(shù)(k≠0)交于點B(n,2).
(1)求一次函數(shù)的解析式
(2)求反比例函數(shù)的解析式
(3)直接寫出求當1≤x≤6時,反比例函數(shù)y的取值范圍.
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【題目】如圖,直線∥,直線和,分別交于點.A為上一點,B為上一點,P為上一動點。
(1)如果P在C、D之間運動,如圖①(點P與點C、D不重合),請說明:
(2)如果P在CD兩點的外側運動,如圖②、圖③(點P與點C、D不重合),問∠APB,,有何關系,請直接寫出結論。
圖① 圖② 圖③
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【題目】如圖,已知點O在直線AB上,將一副直角三角板的直角頂點放在點O處,其中∠OCD=60°,∠OEF=45°.邊OC、OE在直線AB上.
(1)如圖(1),若CD和EF相交于點G,則∠DGF的度數(shù)是______°;
(2)將圖(1)中的三角板OCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°至圖(2)位置
①若將三角板OEF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°,在此過程中,當∠COE=∠EOD=∠DOF時,求∠AOE的度數(shù);
②若將三角板OEF繞點O以每秒4°的速度順時針旋轉(zhuǎn)180°,與此同時,將三角板OCD繞點O以每秒1°的速度順時針旋轉(zhuǎn),當三角板OEF旋轉(zhuǎn)到終點位置時,三角板OCD也停止旋轉(zhuǎn).設旋轉(zhuǎn)時間為t秒,當OD⊥EF時,求t的值.
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=900,點A、C的坐標分別為A(-2,0),C(1,0),tan∠BAC=.
(1)求點B的坐標。
(2)在x軸上找一點D,連接DB,使得△BCD與△ABC相似(不包括全等),并求點D的坐標。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:關于x的一次函數(shù)y=(2m-1)x+m -2,若它的函數(shù)值y隨x的增大而增大,且圖象與y軸負半軸相交,且m為正整數(shù).
(1)求這個函數(shù)的解析式.
(2)求直線y=-x和(1)中函數(shù)的圖象與x軸圍成的三角形面積.
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