【題目】(1)問(wèn)題探究
①如圖1,在直角中,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),連接,則的最小值為_________.
②如圖2,在等腰直角中, ,若,求邊的長(zhǎng)度(用含的代數(shù)式表示);
(2)問(wèn)題解決
③如圖3,在等腰直角中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),若點(diǎn)是邊上一點(diǎn),試求的最小值.
【答案】(1)①;②;(2)
【解析】
(1)①如圖1中,作BE⊥AC于E.解直角三角形求出BE,根據(jù)垂線段最短即可解決問(wèn)題.
②利用勾股定理即可解決問(wèn)題.
(2)如圖3中,作AH⊥AC,PE⊥AH于E,DF⊥AH于F交AB于T.因?yàn)?/span>DP+PA=DP+PE,根據(jù)垂線線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)E與F重合時(shí),PD+PA的值最小,最小值為DF的長(zhǎng).
(1)①如圖1中,作BE⊥AC于E.
在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,AC=5,BC=3,
∴AB==4,
∵S△ABC=ACBE=ABBC,
∴BE==,
根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)BP與BE重合時(shí),PB的值最小,最小值為,
故答案為.
②如圖2中,
∵∠B=90°,AB=BC,
∴AB2+BC2=AC2,
∴AB2=a2,
∴AB=a或-a(舍棄),
∴AB=a.
(2)如圖3中,作AH⊥AC,PE⊥AH于E,DF⊥AH于F交AB于T.
∵△ABC是等腰直角三角形,AC=2,
∴AB=BC=2,∠BAC=∠C=45°,
∵BD=CD=1,
∵DF⊥AH,AC⊥AH,
∴DF∥AC,
∴∠BTD=∠BAC=45°,∠BDT=∠C=45°,
∴∠BTD=∠BDT,
∴BT=BD=AT=1,DT=,
∵AH⊥AC,∠BAC=45°,
∴∠HAC=90°,∠HAT=45°,
∴AF=TF=,
∴PE=PA,
∴DP+PA=DP+PE,
根據(jù)垂線線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)E與F重合時(shí),PD+PA的值最小,最小值為DF的長(zhǎng)=+=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探索與發(fā)現(xiàn)
探索:如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形ABCO的點(diǎn)B坐標(biāo)(4,4),點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上,對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)E,連接BE,過(guò)E作DE⊥BE交OC于點(diǎn)D.
(1)證明:BE=DE.
小明給出的思路為:過(guò)E作y軸的平行線交AB、x軸于點(diǎn)F、H.請(qǐng)完善小明的證明過(guò)程.
(2)若點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,0),則點(diǎn)E坐標(biāo)為 .
若點(diǎn)D坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)E坐標(biāo)為 .
發(fā)現(xiàn):在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B坐標(biāo)(5,3),點(diǎn)D坐標(biāo)(3,0),找一點(diǎn)E,使得△BDE為等腰直角三角形,直接寫(xiě)出點(diǎn)E坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在半⊙O中,AB是直徑,點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C是的中點(diǎn),CE⊥AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AD,分別交CE,CB于點(diǎn)P,Q,連接AC,關(guān)于下列結(jié)論:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點(diǎn)P是△ACQ的外心;④AC2=CQCB,其中結(jié)論正確的是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明調(diào)查了班級(jí)里20位同學(xué)本學(xué)期購(gòu)買課外書(shū)的花費(fèi)情況,并將結(jié)果繪制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖.在這20位同學(xué)中,本學(xué)期購(gòu)買課外書(shū)的花費(fèi)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( 。
A. 50,50 B. 50,30 C. 80,50 D. 30,50
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“校園安全”受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注,東營(yíng)市某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就校園安全知識(shí)的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生共有_______人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_(kāi)______°;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該中學(xué)學(xué)生中對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“了解”程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于的方程有增根,則的值為__________.
【答案】2
【解析】方程兩邊都乘(x2),得
x+x2=a,即a=2x2.
分式方程的增根是x=2,
∵原方程增根為x=2,
∴把x=2代入整式方程,得a=2,
故答案為:2.
點(diǎn)睛:本題考查了分式方程的增根,增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.把增根代入化為整式方程的方程即可求出a的值.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,6)和(m,-3),則m= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑的畫(huà)弧,分別交BA,BC于點(diǎn)M、N;再分別以點(diǎn)M、N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中不正確的是()
A. BP是∠ABC的平分線B. AD=BDC. D. CD=BD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求證:DE=DF;
(2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(問(wèn)題背景)
在平行四邊形ABCD中,∠BAD=120°,AD=nAB,現(xiàn)將一塊含60°的直角三角板(如圖)放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),其60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB、AD于點(diǎn)E、F(不包括線段的端點(diǎn)).
(發(fā)現(xiàn))
如圖1,當(dāng)n=1時(shí),易證得AE+AF=AC;
(類比)
如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H,
(1)當(dāng)n=2時(shí),求證:AE=2FH;
(2)當(dāng)n=3時(shí),試探究AE+3AF與AC之間的等量關(guān)系式;
(延伸)
將60°角的頂點(diǎn)移動(dòng)到平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的任意點(diǎn)Q,其余條件均不變,試探究:AE、AF、AQ之間的等量關(guān)系式(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論).
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