Question

【題目】已知Rt△ABD中，邊AB=OB=1，∠ABO=90°

問題探究：

（1）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作正方形ABC，如圖（1），則點O與點D的距離為 ．

（2）以AB為邊，在Rt△ABO的右邊作等邊三角形ABC，如圖（2），求點O與點C的距離．

問題解決：

（3）若線段DE=1，線段DE的兩個端點D，E分別在射線OA、OB上滑動，以DE為邊向外作等邊三角形DEF，如圖（3），則點O與點F的距離有沒有最大值，如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、；(2)、；(3)、.

【解析】

試題分析：(1)、如圖1中，連接OD，在Rt△ODC中，根據(jù)OD=計算即可．(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．在Rt△OCE中，根據(jù)OC=計算即可．(3)、如圖3中，當(dāng)OF⊥DE時，OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在OH上取一點M，使得OM=DM，連接DM．分別求出MH、OM、FH即可解決問題．

試題解析：(1)、如圖1中，連接OD，

∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90° 在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，

∴OD===．

(2)、如圖2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，連接OC．

∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°， ∴四邊形BECF是矩形， ∴BF=CF=，CF=BE=，

在Rt△OCE中，OC===．

(3)、如圖3中，當(dāng)OF⊥DE時，OF的值最大，設(shè)OF交DE于H，在OH上取一點M，使得OM=DM，連接DM．

∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE， ∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=∠DOE=22.5°， ∵OM=DM，

∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=， ∴DM=OM=，

∵FH==， ∴OF=OM+MH+FH=++=．

∴OF的最大值為．