Question

（1）畫圖探究：
如圖1，若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上求作一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法；
（2）實踐運(yùn)用：
如圖2，在等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，點(diǎn)P是高AD上一個動點(diǎn)，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如圖3，四邊形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小，并求此時∠MAN的度數(shù)．

Answer 1

（1）如圖1所示：P點(diǎn)即為所求；

（2）如圖2，連接EC，交AD于點(diǎn)P，
此時BP+PE最小，
∵等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，
∴BE=1，BC=2，
∴EC=

3

，
∴BP+PE的最小值為：

3

；

（3）如圖3：
分別作出點(diǎn)A關(guān)于CD，BC的對稱點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF分別交CD、BC于點(diǎn)M、N此時△AMN周長最��；
∵∠BAD=125°，∴∠E+∠F=55°，∴∠DAM+∠EAB=∠E+∠F=55°，
∴∠MAN=125°-55°=70°．