Question

【題目】解決問(wèn)題時(shí)需要思考：是否解決過(guò)與其類似的問(wèn)題.小明從問(wèn)題1解題思路中獲得啟發(fā)從而解決了問(wèn)題2.

問(wèn)題1：如圖①，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD上兩點(diǎn)，∠EAF＝45°.

求證：∠AEF＝∠AEB.

小明給出的思路為：延長(zhǎng)EB到H，滿足BH＝DF，連接AH.請(qǐng)完善小明的證明過(guò)程.

問(wèn)題2：如圖②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為AB中點(diǎn)，E、F是AC、BC邊上兩點(diǎn)，∠EDF＝45°．

（1）求點(diǎn)D到EF的距離．

（2）若AE＝a，則S△DEF＝ （用含字母a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2，（3）a＋－4

【解析】試題分析：?jiǎn)栴}1：如圖①中，延長(zhǎng)EB到H，滿足BH=DF，連接AH，只要證明△AHE≌△AFE，即可推出∠AEF=∠AEB；
問(wèn)題2：（1）如圖②中，過(guò)點(diǎn)D分別向AC、BC、EF作垂線，垂足分別為G、H、M，利用（1）中即可，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可解決問(wèn)題，
（2）在Rt△DEG中，DE=，由S△AED=AEDG=a，△DEF∽△AED，推出，由此即可解決問(wèn)題；

試題解析：?jiǎn)栴}1：證明：如圖①中，延長(zhǎng)EB到H，滿足BH=DF，連接AH

∵AB=AD，∠ABH=∠D=90°，BH=DF，
∴△ADF≌ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
即∠EAH=∠BAH+∠BAE=45°，
∴∠EAH=∠EAF，
又∵AF=AH，AE=AE，
∴△AHE≌△AFE，
∴∠AEF=∠AEB．
問(wèn)題2：解：（1）過(guò)點(diǎn)D分別向AC、BC、EF作垂線，垂足分別為G、H、M，

∵∠ACB=90°，∴CGDH為矩形，∵AC=BC=4，D為AB中點(diǎn)，
∴DG=DH=BC=2，
∴四邊形CGDH為正方形，
由問(wèn)題1知∠DEG=∠DEM，
∴DM=DG=2．
（2）在Rt△DEG中，DE=，
∵S△AED=AEDG=a，
∵△DEF∽△AED，
∴，
∴S△DEF=．