Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AD、BC、OC，且OC=5．
（1）若sin∠BCD=

3

5

，求CD的長(zhǎng)；
（2）若∠OCD=4∠BCD，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：（1）由垂徑定理可得CE=DE，在直角三角形OCE中，利用勾股定理可得CE的長(zhǎng)，乘以2即為CD的長(zhǎng)；
（2）算出∠COB的度數(shù)，也就求得了陰影部分的圓心角，利用扇形的面積公式計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，
∴CE=DE
設(shè)EB=3x，則BC=5x，
∴CE=4x，
在直角三角形OCE中，
OC²=CE²+OE²，
5²=（4x）²+（5-3x）²，
解得x=0或x=1.2，
∴CE=4x=4.8，
∴CD=2CE=9.6；

（2）∵AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

∴∠COB=2∠BCD
∵∠OCD=4∠BCD，∠OBC=∠OCB，∠OCB+∠OBC+COB=180°，
∴∠BCD=15°，
∴∠OBC=75°，
∴∠BOC=30°，
∴∠AOC=150°
∴S=

150π52

360

=

125

12

π．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查了垂徑定理的應(yīng)用，扇形面積的計(jì)算；利用勾股定理及求得扇形的圓心角是解決本題的突破點(diǎn)．