Question

（2010•揚(yáng)州二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A在y軸上坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B在x軸上坐標(biāo)為（10，0），BC⊥x軸，直線AC交x軸于M，tan∠ACB=2．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點(diǎn)P在線段OB上，設(shè)OP=x，△APC的面積為S．請(qǐng)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（3）探索：在線段OB上是否存在一點(diǎn)P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)x=4時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)為P的拋物線與y軸交于D，且△PAD是等腰三角形，求該拋物線的解析式．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；
（2）根據(jù)△APC的面積=△MPC的面積-△PAM的面積得出；
（3）假設(shè)在線段OB上存在一點(diǎn)P，使得△APC是直角三角形，由于∠ACP≤∠ACB＜90°，那么有兩種情況：①∠PAC=90°；②∠APC=90°．由△AOP∽△PBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出；
（4）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)公式求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵OA∥BC，
∴∠OAM=∠ACB，
∵tan∠ACB=2，
∴tan∠OAM=2，
∴OM=2OA=6，
∴BM=OM+OB=6+10=16．
∴BC=0.5BM=8，
∴C（10，8）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（0，3），C（10，8）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得b=3，10k+b=8，
∴k=0.5．
∴直線AC的解析式為y=0.5x+3；

（2）∵△APC的面積=△MPC的面積-△PAM的面積=（x+6）×8-（x+6）×3=2.5x+15，
∴S=2.5x+15．
∵點(diǎn)P在線段OB上，
∴0≤x≤10；

（3）假設(shè)在線段OB上存在一點(diǎn)P，使得△APC是直角三角形．
由于∠ACP≤∠ACB＜90°，那么有兩種情況：①∠PAC=90°；②∠APC=90°．
①如果∠PAC=90°，由勾股定理，可知AP²+AC²=PC²，
∴OP²+OA²+OB²+（BC-OA）²=PB²+BC²，
∴x²+3²+10²+（8-3）²=（10-x）²+8²，
解得x=1.5；
②如果∠APC=90°，
在△AOP與△PBC中，∵∠AOP=∠PBC=90°，∠OAP=∠BPC=90°-∠OPA，
∴△AOP∽△PBC，
∴OA：BP=OP：BC，
∴3：（10-x）=x：8，
解得x=4或6．
綜上，可知x=1.5或4或6；

（4）根據(jù)題意得：P（4，0）；
若PA=AD，則D（0，8）或（0，-2），
則此時(shí)拋物線為：y=（x-4）²或y=-（x-4）²；
若PA=PD，則點(diǎn)D（0，-3），
則此時(shí)拋物線為：y=-（x-4）²；
若AD=PD，則（0，-），
此時(shí)拋物線為：y=-（x-4）²．
故拋物線為：y=（x-4）²或y=-（x-4）²，y=-（x-4）²，y=-（x-4）²．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法，在平面直角坐標(biāo)系中求三角形的面積，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，需注意分類討論，全面考慮點(diǎn)P所在位置的各種情況．是一道難度較大的綜合題．