Question

【題目】如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC；

（2）是否存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t=秒，PQ∥BC；（2）不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；（3）當(dāng)四邊形PQP'C為菱形時(shí)，t的值為秒．

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求得AB＝5，由運(yùn)動(dòng)知，BP＝t，得出AP＝5﹣t，AQ＝t，再得出，代入建立方程即可得出結(jié)論；

（2）先求出S△AQPS△ABC，再求出S△ABC＝6，進(jìn)而的粗S△AQP＝3，再表示出PG（5﹣t），利用S△AQPt2t＝3，建立方程，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出PE⊥AC，QE＝EC，再判斷出△APE∽△ABC，進(jìn)而得出AEt+4，QE＝AE﹣AQt+4，建立方程即可得出結(jié)論．

在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根據(jù)勾股定理得：AB＝5，

由運(yùn)動(dòng)知，BP＝t，

∴AP＝5﹣t，AQ＝t．

∵PQ∥BC，

∴，

∴，

∴t，

∴當(dāng)t秒，PQ∥BC；

（2）假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，

∴S△AQPS△ABC．

∵S△ABCACBC＝6，

∴S△AQP＝3，過點(diǎn)P作PG⊥AC于G．

∵PG∥BC，

∴，

∴，

∴PG（5﹣t），

∴S△AQPAQPGt（5﹣t）t2t，

∴t2t＝3，即：t2﹣5t+10=0．

∵△＝25﹣40＝﹣15＜0，

∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

∴不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；

（3）如圖乙．連接PP'，PP'交QC于E，當(dāng)四邊形PQP'C為菱形時(shí)，PE垂直平分QC，即：PE⊥AC，QE＝EC．

∵∠ACB=90°，

∴PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

∴，

∴AEt+4，QE＝AE﹣AQt+4﹣tt+4，

∴t+4t+2，

∴t．

∵04，

∴當(dāng)四邊形PQP'C為菱形時(shí)，t的值為秒．