【題目】如圖,過A(1,0)、B(3,0)作x軸的垂線,分別交直線y=4﹣x于C、D兩點.拋物線y=ax2+bx+c經過O、C、D三點.

(1)求拋物線的表達式;
(2)點M為直線OD上的一個動點,過M作x軸的垂線交拋物線于點N,問是否存在這樣的點M,使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求此時點M的橫坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若△AOC沿CD方向平移(點C在線段CD上,且不與點D重合),在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S,試求S的最大值.

【答案】
(1)

解:由題意,可得C(1,3),D(3,1).

∵拋物線過原點,∴設拋物線的解析式為:y=ax2+bx.

,

解得

∴拋物線的表達式為:y=﹣ x2+ x


(2)

解:存在.

設直線OD解析式為y=kx,將D(3,1)代入,

求得k= ,

∴直線OD解析式為y= x.

設點M的橫坐標為x,則M(x, x),N(x,﹣ x2+ x),

∴MN=|yM﹣yN|=| x﹣(﹣ x2+ x)|=| x2﹣4x|.

由題意,可知MN∥AC,因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形,則有MN=AC=3.

∴| x2﹣4x|=3.

x2﹣4x=3,整理得:4x2﹣12x﹣9=0,

解得:x= 或x= ;

x2﹣4x=﹣3,整理得:4x2﹣12x+9=0,

解得:x=

∴存在滿足條件的點M,點M的橫坐標為:


(3)

解:∵C(1,3),D(3,1)

∴易得直線OC的解析式為y=3x,直線OD的解析式為y= x.

如解答圖所示,

設平移中的三角形為△A′O′C′,點C′在線段CD上.

設O′C′與x軸交于點E,與直線OD交于點P;

設A′C′與x軸交于點F,與直線OD交于點Q.

設水平方向的平移距離為t(0≤t<3),

則圖中AF=t,F(xiàn)(1+t,0),Q(1+t, + t),C′(1+t,3﹣t).

設直線O′C′的解析式為y=3x+b,

將C′(1+t,3﹣t)代入得:b=﹣4t,

∴直線O′C′的解析式為y=3x﹣4t.

∴E( t,0).

聯(lián)立y=3x﹣4t與y= x,解得x= t,

∴P( t, t).

過點P作PG⊥x軸于點G,則PG= t.

∴S=SOFQ﹣SOEP= OFFQ﹣ OEPG

= (1+t)( + t)﹣ t t

=﹣ (t﹣1)2+

當t=1時,S有最大值為

∴S的最大值為


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)由題意,可知MN∥AC,因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形,則有MN=AC=3.設點M的橫坐標為x,則求出MN=| x2﹣4x|;解方程| x2﹣4x|=3,求出x的值,即點M橫坐標的值;(3)設水平方向的平移距離為t(0≤t<3),利用平移性質求出S的表達式:S=﹣ (t﹣1)2+ ;當t=1時,s有最大值為
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質,掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】隨著柴靜紀錄片《穹頂之下》的播出,全社會對空氣污染問題越來越重視,空氣凈化器的銷量也大增,商社電器從廠家購進了A,B兩種型號的空氣凈化器,已知一臺A型空氣凈化器的進價比一臺B型空氣凈化器的進價多300元,用7500元購進A型空氣凈化器和用6000元購進B型空氣凈化器的臺數(shù)相同.
(1)求一臺A型空氣凈化器和一臺B型空氣凈化器的進價各為多少元?
(2)在銷售過程中,A型空氣凈化器因為凈化能力強,噪音小而更受消費者的歡迎.為了增大B型空氣凈化器的銷量,商社電器決定對B型空氣凈化器進行降價銷售,經市場調查,當B型空氣凈化器的售價為1800元時,每天可賣出4臺,在此基礎上,售價每降低50元,每天將多售出1臺,如果每天商社電器銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元,請問商社電器應將B型空氣凈化器的售價定為多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】當前正值櫻桃銷售季節(jié),小李用20000元在櫻桃基地購進櫻桃若干進行銷售,由于銷售狀況良好,他又立即拿出60000元資金購進該種櫻桃,但這次的進貨價比第一次的進貨價提高了20%,購進櫻桃數(shù)量是第一次的2倍還多200千克.
(1)該種櫻桃的第一次進價是每千克多少元?
(2)如果小李按每千克90元的價格出售,當大部分櫻桃售出后,余下500千克按售價的7折出售完,小李銷售這種櫻桃共盈利多少元.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖,圖象過點(﹣1,0),對稱軸為直線x=2,下列結論: ①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④當x>﹣1時,y的值隨x值的增大而增大.
其中正確的結論有(

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在等邊△ABC中,以BC為直徑的⊙O與AB交于點D,DE⊥AC,垂足為點E.
(1)求證:DE為⊙O的切線;
(2)計算

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)軸上有A,B,C三個點,分別表示有理數(shù)﹣24,﹣10,10,動點PA出發(fā),以每秒4個單位長度的速度向終點C移動,設移動時間為t秒.

(1)用含t的代數(shù)式表示點PA的距離:PA=   ;點P對應的數(shù)是   ;

(2)動點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點C移動,若P、Q同時出發(fā),求:當點P運動多少秒時,點P和點Q間的距離為8個單位長度?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設計一個商標圖形(如圖8所示),在△ABC中,AB=AC=2cm,∠B=30°,以A為圓心,AB為半徑作 ,以BC為直徑作半圓 ,則商標圖案(陰影)面積等于cm2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(0,8),B(﹣4,0),線段AB的垂直平分線CD分別交AB、OA于點C、D,其中點D的坐標為(0,3).

(1)求直線AB的解析式;

(2)求線段CD的長;

(3)點Ey軸上一個動點,當CDE為等腰三角形時,求E點的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,在CD上任取一點E,連接BE,將△BCE沿BE折疊,使點C恰好落在AD邊上的點F處,則CE的長為

查看答案和解析>>

同步練習冊答案