Question

你能化簡(x－1)(x⁹⁹＋x⁹⁸＋x⁹⁷＋……＋x＋1）嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形入手．
分別計算下列各式的值：
①(x－1)(x＋1）＝x²－1；
②(x－1)(x²＋x＋1）＝x³－1；；
③(x－1)(x³＋x²＋1）＝x⁴－1；；……
由此我們可以得到：(x－1）(x⁹⁹＋x⁹⁸＋x⁹⁷＋…＋x＋1）＝________________；
請你利用上面的結(jié)論，完成下面兩題的計算：
(1) 2⁹⁹＋2⁹⁸＋2⁹⁷＋……＋2＋1；
(2)(－2)⁵⁰＋(－2)⁴⁹＋(－2)⁴⁸＋……＋（－2）＋1

Answer 1

2¹⁰⁰-1；（1）2¹⁰⁰-1；（2）.

試題分析：根據(jù)平方差公式，和立方差公式可得前2個式子的結(jié)果，利用多項式乘以多項式的方法可得出第3個式子的結(jié)果；從而總結(jié)出規(guī)律是（x-1）（x⁹⁹+x98+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1，根據(jù)上述結(jié)論計算下列式子即可．
試題解析：根據(jù)題意：（1）（x-1）（x+1）=x²-1；
（2）（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（3）（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
故（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1．
根據(jù)以上分析：
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1=（2-1）（2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1）=2¹⁰⁰-1；
（2）（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…（-2）+1=-（-2-1）[（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…（-2）+1]
=-（-2⁵¹-1）=.