Question

【題目】如圖，直線y＝kx+b與x軸和y軸交于A、B兩點(diǎn)，AB＝4，∠BAO＝45°．

（1）如圖1，求直線AB的解析式．

（2）如圖1，直線y＝2x﹣2交x軸于點(diǎn)E．且P為該直線在直線AB上方一動點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積等于10時，將線段PE沿著x軸平移得到線段P1E1，連接OP1．求OP1+P1E1+的最小值．

（3）如圖2，在（2）問的條件下，若直線y＝2x﹣2與y軸的交點(diǎn)是C，連接CE1，得到△OCE1，將△OCE1繞著原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），旋轉(zhuǎn)過程中直線OC與直線AB交于點(diǎn)M，直線CE1與直線AB交于點(diǎn)N，當(dāng)△CMN為等腰三角形時，直接寫出α的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣4；（2）最小值為5+2；（3）旋轉(zhuǎn)角α＝45°，67.5°，90°，157.5°時，△CMN是等腰三角形

【解析】

（1）先求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法就可以了；

（2）先根據(jù)面積確定點(diǎn)的坐標(biāo)，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作，可以看出只有當(dāng)時，有最小值；

（3）為等腰三角形，按照頂角和底角進(jìn)行分類討論，在旋轉(zhuǎn)過程中有四種情況．

解：（1）由，

，

，

，，

，

（2）如圖

為直線在直線上方一動點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上方，且的面積等于10，

的面積等于8，點(diǎn)位于軸上方．

由得

解得；

；

，

，

作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過作于，過作軸于，連接，過點(diǎn)作，且使，此時、、成一直線時，的值最小，即的值最小，

此時，最小．

，

，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，

，，

，，

最小就是求，

當(dāng)時，的值最小，

，

，，，

，

的最小值為．

（3）由題意得：，，，

為等腰三角形，分四種情況：

①（如圖，旋轉(zhuǎn)角；

②（如圖，旋轉(zhuǎn)角；

③（如圖，旋轉(zhuǎn)角；

④（如圖，旋轉(zhuǎn)角

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α＝45°，67.5°，90°，157.5°時，△CMN是等腰三角形．