Question

【題目】如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1 ， x2 ， 那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：
（1）已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；
（2）已知a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 的值；
（3）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)方程x2+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x1，x2，

則： + = =﹣ ，

= = ，

若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，

則這個(gè)一元二次方程是：x2+ x+ =0

（2）解：∵a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，

∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，

當(dāng)a≠b時(shí)，a+b=15，ab=﹣5，

= = = =﹣47．

當(dāng)a=b時(shí)，原式=2

（3）解：∵a+b+c=0，abc=16，

∴a+b=﹣c，ab= ，

∴a、b是方程x2+cx+ =0的解，

∴c2﹣4 ≥0，

c2﹣ ≥0，

∵c是正數(shù)，

∴c3﹣43≥0，

c3≥43，

c≥4，

∴正數(shù)c的最小值是4

【解析】（1）先設(shè)方程x2+mx+n=0，（n≠0）的兩個(gè)根分別是x1 ， x2 ， 得出 + =﹣ ， = ，再根據(jù)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案．（2）根據(jù)a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 的值．（3）根據(jù)a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab= ，a、b是方程x2+cx+ =0的解，再根據(jù)c2﹣4 ≥0，即可求出c的最小值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解求根公式的相關(guān)知識(shí)，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，以及對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商．