Question

在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，在等腰直角△BEF中，∠EBF=90°，連接AE，CF．
求證：（1）AE=CF；
      （2）AE⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BA=BC，∠2+∠EBC=90°，BE=BF，∠1+∠EBF=90°，則∠2=∠1，再根據(jù)全等三角形的判定方法得到△BEA≌△BFC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到AE=CF；
（2）由△BEA≌△BFC得到∠4=∠3，利用對頂角相等得到∠5=∠6，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到∠CHO=∠ABO=90°，則AE⊥CF．

解答：證明（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴BA=BC，∠2+∠EBC=90°，
∵△BEF為等腰直角三角形，∠EBF=90°，
∴BE=BF，∠1+∠EBC=90°，
∴∠2=∠1，
在△BEA和△BFC中

BA=BC ∠2=∠1 BE=BF

，
∴△BEA≌△BFC（SAS），
∴AE=CF；

（2）延長AE交BC于點O，交CF于點H，如圖，
∵△BEA≌△BFC，
∴∠4=∠3，
∵∠5=∠6，
∴∠CHO=∠ABO=90°，
∴AE⊥CF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角分別相等，且它們所夾的邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．