Question

問(wèn)題背景：
若矩形的周長(zhǎng)為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，面積為s，則s與x的函數(shù)關(guān)系式為：s=-x2+

1

2

x（x＞0），利用函數(shù)的圖象或通過(guò)配方均可求得該函數(shù)的最大值．
提出新問(wèn)題：
若矩形的面積為1，則該矩形的周長(zhǎng)有無(wú)最大值或最小值？若有，最大（�。┲凳嵌嗌�？
分析問(wèn)題：
若設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2(x+

1

x

)（x＞0），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（小）值了．
解決問(wèn)題：
借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值．
（1）實(shí)踐操作：填寫下表，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=2(x+

1

x

)（x＞0）的圖象：

x	…	1/4	1/3	1/2	1	2	3	4	…
y	…	17 2	20 3	5	4	5	20 3	17 2	…

（2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當(dāng)x=

1

時(shí)，函數(shù)y=2(x+

1

x

)（x＞0）有最

小

值（填“大”或“小”），是

4

．
（3）推理論證：?jiǎn)栴}背景中提到，通過(guò)配方可求二次函數(shù)s=-x2+

1

2

x（x＞0）的最大值，請(qǐng)你嘗試通過(guò)配方求函數(shù)y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（�。┲担�以證明你的猜想．〔提示：當(dāng)x＞0時(shí)，x=(

x

)2〕

Answer 1

分析：（1）將x的值代入已知的函數(shù)解析式中，在確定了各點(diǎn)的坐標(biāo)后，再通過(guò)描點(diǎn)-連線作出函數(shù)的圖形．
（2）通過(guò)（1）的計(jì)算結(jié)果和函數(shù)圖象即可得到結(jié)論．
（3）題干最后的“提示”已經(jīng)給出了解題的思路，首先可以將函數(shù)化為：y=2（x+

1

x

）=2（

x

-

1

x

）²+2，根據(jù)x的取值范圍即可判斷出y的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)x=

1

4

時(shí)，y=2×（

1

4

+4）=

17

2

，
當(dāng)x=

1

3

時(shí)，y=2×（

1

3

+3）=

20

3

，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=2×（

1

2

+2）=5，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2×（1+1）=4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=2×（2+

1

2

）=5，
當(dāng)x=3時(shí)，y=2×（3+

1

3

）=

20

3

，
當(dāng)x=4時(shí)，y=2×（4+

1

4

）=

17

2

．
函數(shù)圖象如右圖：

（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果和函數(shù)圖象知：當(dāng)x=1時(shí)，y=2（x+

1

x

）有最小值，且最小值為4．

（3）證明：∵x＞0，且x=（

x

）²，
∴y=2（x+

1

x

）=2[（

x

）²-2+（

1

x

）²]+4=2（

x

-

1

x

）²+4；
∴當(dāng)

x

=

1

x

，即x=1時(shí)，函數(shù)y=2（x+

1

x

）有最小值，且最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是利用配方法求函數(shù)最小（大）值的方法；通過(guò)給出的材料，以常見(jiàn)的二次函數(shù)作為樣例，提出了較復(fù)雜函數(shù)最值的解法，充分理解閱讀部分的含義是解題的關(guān)鍵．