Question

如圖所示，兩等圓⊙O₁、⊙O₂相交于A、B兩點，且兩圓互過圓心，過B作任一直線，分別交⊙O₁、⊙O₂于C、D兩點，連接AC、AD．

(1)試猜想△ACD的形狀，并給出證明；

(2)若已知條件中兩圓不一定互相過圓心，試猜想三角形的形狀是怎樣的；

(3)若⊙O₁和⊙O₂是兩個不等的圓，半徑分別為R和r，那么(2)中的猜想還成立嗎？若成立給出證明；若不成立，那么AC和AD的長與兩圓的半徑有什么關(guān)系？說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖，△ACD為等邊三角形．證明如下：連結(jié)O1A，O1O2，O1B，O2A，O2B．∵⊙O1和⊙O2為等圓且互過圓心，∴O1A＝O1O2＝O1B＝O2A＝O2B．∴∠AO1B＝∠AO2B＝120°． 　　∴∠ACD＝∠ADC＝60°．∴△ACD為等邊三角形; 　　(2)△ACD為等腰三角形，如圖(1)．證明如下： 　　∵⊙O1和⊙O2為等圓，則與是等弧，∴∠C＝∠D，即 　　△ACD為等腰三角形; 　　(3)不成立，此時，如圖(2)所示． 　　證明如下：連結(jié)AO1并延長交⊙O1于E，連結(jié)EC．連結(jié)AO2并延長交⊙O2于F，連結(jié)DF，則△AEC和△AFD為直角三角形． 　　∵四邊形AECB為⊙O1的圓內(nèi)接四邊形，∴∠E＝∠ABD．而∠ABD＝∠F，∴∠E＝∠F．∴Rt△AEC∽Rt△AFD． 　　∴．