Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與直線相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B，與軸相交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過點(diǎn)O、點(diǎn)A和點(diǎn)B，已知點(diǎn)A到軸的距離等于2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)H為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)H到的距離最大時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）如圖，P為射線OA的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以每秒個(gè)單位長度的速度移動，以OP為邊在OA的上方作正方形OPMN，設(shè)正方形POMN與△OAC重疊的面積為S，設(shè)移動時(shí)間為t秒，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）;（2）H;（2，2）; （3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意求出A、B坐標(biāo)，由圖像可知，圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則c=0，設(shè)出拋物線解析式為，將A（4,2）、B（6,0）代入，即可得到答案.

（2）設(shè)H（, ）,作HD∥,當(dāng)HD∥時(shí)，點(diǎn)H到的距離最大.設(shè)直線HD的解析式，并與拋物線解析式聯(lián)立，得到一元二次方程，因?yàn)橛珊瘮?shù)圖像可知，直線HD與，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以△=0，求出c,進(jìn)而求出H坐標(biāo)，得到答案.

(3)通過運(yùn)動過程中，分情況討論，并將不規(guī)則圖像利用分割法求解即可.

（1）由點(diǎn)A到軸的距離等于2得知，A的縱坐標(biāo)是2

當(dāng)y=2時(shí)，代入，得，則A（4,2）

當(dāng)x=0時(shí)，代入，得y=6,則B（6,0）

由圖像可知，圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則c=0，則拋物線解析式為

將A（4,2）、B（6,0）代入

解得

所以拋物線的解析式

（2）

設(shè)H（, ）,作HD∥,當(dāng)HD∥時(shí)，點(diǎn)H到的距離最大.

設(shè)直線HD的解析式，則

得化簡得：

由函數(shù)圖像可知，直線HD與，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以△=

所以c=1

當(dāng)c=1時(shí)，即為，

即,則

所以H（2,2）

綜上所述，點(diǎn)H為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)H到的距離最大時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)H（2,2）.

（3）第一種情況：下圖：P點(diǎn)由O點(diǎn)運(yùn)動到圖（2）位置（M正好在AC上）軸時(shí).

,由題意得：OP=ON=，則MN=.

=-

=

=

=

=

作CD⊥AO,于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)Q

由：，可知B（6,0），C（0,6），則OC=6，

由（1）可知A(4,2),可知： ，

通過解直角三角形方法可知：即：

解得AD=,利用勾股定理得

∴

∵CD⊥，MP⊥

∴即解得

所以

第二種情況：下圖：P點(diǎn)圖（1）位置（M正好在AC上）軸運(yùn)動到O點(diǎn)運(yùn)動到時(shí).

取中間過程圖分析面積：

作CD⊥AO,于點(diǎn)D，交MN軸于點(diǎn)E，MN交AC于點(diǎn)F,MP交AC于點(diǎn)I.

由情況一可知則,代入得：

所以，

∴

∵CD⊥，AP⊥

∴MP∥CD,

∴，則

∴

=--

=-

=

當(dāng)AO=OP時(shí)，是臨界點(diǎn)，此時(shí)，t=2

綜上所述：

第三種情況：下圖：P點(diǎn)圖（1）位置（P與A點(diǎn)重合）運(yùn)動到MN經(jīng)過點(diǎn)C時(shí).

取中間過程圖分析面積：

MN交y軸于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)D，由題意知：，

=

此時(shí)=--

=-

=

臨界點(diǎn)范圍求值：

作CG⊥OP于點(diǎn)G，

OP=MP=CG=

OP=即解得：

第四種情況：下圖：當(dāng)△AOC完全被正方形覆蓋時(shí)：

此時(shí)正方形邊長＞△AOC中AO邊上的高，即＞,得t＞

==A點(diǎn)橫坐標(biāo)=

即當(dāng)t＞，S=12

綜上所述