Question

已知關(guān)于x的方程9x²-9xsinA-2=0的兩根的平方和是1，其中∠A為銳角三角形ABC的一個內(nèi)角．①求sinA的值．②若△ABC的兩邊長x、y滿足方程組

x+y=6 xy=m2+4m+13

（m為實數(shù)），求△ABC的第三邊．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式，即可求出sinA的值．
（2）根據(jù)根的判別式首先求出m的值，然后分兩種情況：①∠A是底角；②∠A是頂角，分別求出△ABC的第三邊的長度．

解答：解：（1）設(shè)方程9x²-9xsinA-2=0的兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=sinA，x₁•x₂=-

2

9

．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=sin²A+

4

9

．
∵方程9x²-9xsinA-2=0的兩根的平方和是1，
∴sin²A+

4

9

=1，
∴sinA=±

5

3

，
∵∠A為銳角，
∴sinA=

5

3

．

（2）依題意，知x、y是關(guān)于t的一元二次方程t²-6t+m²+4m+13=0①的兩根，
則△≥0，
∴36-4（m²+4m+13）≥0，
∴-（m+2）²≥0，
∴（m+2）²≤0，
又∵（m+2）²≥0，
m=-2．
把m=-2代入方程①，得t²-6t+9=0，
解得t=3，
∴x=y=3，
∴△ABC是等腰三角形．
分兩種情況：①∠A是底角；②∠A是頂角．
①當∠A是底角時，如圖，△ABC中，AB=BC=3，作底邊AB上的高BD，則AB=2AD．
在直角△ABD中，
∵sinA=

5

3

，
∴

BD

AB

=

5

3

，
∴BD=

5

，
∴AD=

AB2-BD2

=2，
∴AC=4；
②當∠A是底角時，如圖，△ABC中，AB=AC=3，作腰AC上的高BD．
在直角△ABD中，∵sinA=

5

3

，
∴

BD

AB

=

5

3

，
∴BD=

5

，
∴AD=

AB2-BD2

=2，
∴CD=AC-AD=1．
在直角△ABD中，∵∠BDC=90°，
∴BC=

BD2+CD2

=

6

．
綜上可知，△ABC的第三邊的長度為4或

6

．

點評：本題主要考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，綜合性強，難度較大．