Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所對的邊分別記作a、b、c．
（1）如圖1，分別以△ABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作S₁、S₂、S₃，則有S₁+S₂=S₃；
（2）如圖2，分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分別記作S₁、S₂、S₃，請問S₁+S₂與S₃有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S₁、S₂、S₃，根據(jù)（2）中的探索，直接回答S₁+S₂與S₃有怎樣的數(shù)量關(guān)系；
（4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出圖4中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由扇形的面積公式可知S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC²+BC²=AB²，即S₁+S₂=S₃；
（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解．

解答：解：（1）∵S1+S2=

1

8

πa2+

1

8

πb2，S3=

1

8

πc2
根據(jù)勾股定理可知：S₁+S₂=S₃；

（2）S₁+S₂=S₃；

（3）S_陰影部分=S₁+S₂-（S₃-S_△ABC）
=S_△ABC=

1

2

×6×8=24．

點(diǎn)評：本題考查勾股定理的應(yīng)用，難度適中，解題關(guān)鍵是對勾股定理的熟練掌握及靈活運(yùn)用．