Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90，D是AC的中點，⊙O經過A、B、D三點，CB的延長線交⊙O于點E．

(1)求證:AE=CE ．

(2)若EF與⊙O相切于點E，交AC的延長線于點F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直徑．

(3)若EF與⊙O相切于點E，點C在線段FD上，且CF:CD=2:1，求sin∠CAB ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2cm；（3）

【解析】

（1）連接DE，根據可知：是直徑，可得，結合點D是AC的中點，可得出ED是AC的中垂線，從而可證得結論；

（2）根據，可將AE解出，即求出⊙O的直徑；

（3）根據等角代換得出，然后根據CF:CD=2:1，可得AC=CF，繼而根據斜邊中線等于斜邊一半得出，在中，求出sin∠CAB即可．

證明：（1）連接，

，

，

∴是直徑

∴，即，

又∵ 是的中點，

∴是的垂直平分線，

∴；

（2）在 和中，

，

故可得，

從而 ，即，

解得：AE=2；

即⊙O的直徑為2．

（3），

，

， 是的中點，

，

，

在中，．

故可得．