Question

如圖，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（6，0）、（6，8）．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā)、以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M沿OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒．過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸，交AC于P，連接NP．
①直接寫出直線AC的解析式和點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)t為何值時(shí)，△CPN的面積取得最大值？并求出△CPN面積的最大值；
③當(dāng)t為何值時(shí)，△CPN是一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

解：（1）由題意可知，C（0，8），M（t，0），N（6-t，8），
設(shè)直線AC的解析式是：y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AC的解析式是：y=-x+8，
∵M(jìn)P⊥x軸，
∴PM∥OC，
∴△APM∽△ACO，
∴=，
即=，
解得PM=（6-t）=8-t，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，8-t）；

（2）設(shè)△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=BC-BN=6-t，
NC邊上的高為8-（8-t）=t，其中，0≤t≤6．
∴S=（6-t）×t=-（t²-6t）=-（t-3）²+6，
∴當(dāng)t=3時(shí)，△CPN的面積取得最大值，△CPN面積的最大值為6；

（3）延長(zhǎng)MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=t．
∴6-t-t=t，
解得t=2；
②若CP=CN，則CN=6-t，PQ=t，CP=t，
∴6-t=t，
解得t=；
③若CN=NP，則CN=6-t．
∵PQ=t，NQ=6-t-t=6-2t，
∵在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²，
∴（6-t）²=（6-2t）²+（t）²，
解得t=．
綜上所述，t=2或t=或t=．
分析：（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求解直線的解析式，根據(jù)PM∥OC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PM的長(zhǎng)度，即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）CN的長(zhǎng)可根據(jù)CN=BC-BN來(lái)求得，然后利用點(diǎn)P的坐標(biāo)求出點(diǎn)P到BC的距離，再根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可得出S，x的函數(shù)關(guān)系式，然后再利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解；
（3）本題要分類討論：
①當(dāng)CP=CN時(shí)，可在Rt△CPQ中，用CQ的長(zhǎng)即t和∠ACB的余弦值求出CP的表達(dá)式，然后聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出t的值；
②當(dāng)CP=PN時(shí)，那么CQ=QN，先在Rt△CPQ中求出CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)QN=CN-CQ求出QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出t的值．
③當(dāng)CN=PN時(shí)，先求出QP和QN的長(zhǎng)，然后在Rt△PNQ中，用勾股定理求出PN的長(zhǎng)，聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出t的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．