Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中點，點E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A'處，當A'E⊥AC時，A'B= ．

Answer 1

【答案】 或7
【解析】解：分兩種情況： ①如圖1，

過D作DG⊥BC與G，交A′E與F，過B作BH⊥A′E與H，
∵D為AB的中點，
∴BD= AB=AD，
∵∠C=90，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴BD=AD=5，
sin∠ABC= ，
∴ ，
∴DG=4，
由翻折得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，
∴sin∠DA′E=sin∠A= ，
∴ ，
∴DF=3，
∴FG=4﹣3=1，
∵A′E⊥AC，BC⊥AC，
∴A′E∥BC，
∴∠HFG+∠DGB=180°，
∵∠DGB=90°，
∴∠HFG=90°，
∵∠EHB=90°，
∴四邊形HFGB是矩形，
∴BH=FG=1，
同理得：A′E=AE=8﹣1=7，
∴A′H=A′E﹣EH=7﹣6=1，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：A′B= = ；
②如圖2

， 過D作MN∥AC，交BC與于N，過A′作A′F∥AC，交BC的延長線于F，延長A′E交直線DN于M，
∵A′E⊥AC，
∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，
∴∠M=∠MA′F=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠F=∠ACB=90°，
∴四邊形MA′FN是矩形，
∴MN=A′F，F(xiàn)N=A′M，
由翻折得：A′D=AD=5，
Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，
∴FN=A′M=4，
Rt△BDN中，∵BD=5，
∴DN=4，BN=3，
∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，
BF=BN+FN=3+4=7，
Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B= =7 ；
綜上所述，A′B的長為 或7 ．
所以答案是： 或7 ．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．