Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ +bx+c與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)P，Q在拋物線上（P點(diǎn)在對(duì)稱軸左邊），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐標(biāo)；
（3）動(dòng)點(diǎn)M在直線y=x+4上，且△ABC與△COM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即C（0，4），

當(dāng)y=0時(shí)，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），

將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得 ，

拋物線的表達(dá)式為y= ﹣x+4

（2）

解：PQ=2AO=8，

又PQ∥AO，即P、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=﹣1對(duì)稱，

PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，

當(dāng)x=﹣5時(shí)，y= ×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣ ，即P（﹣5，﹣ ）；

﹣1+4=3，即Q（3，﹣ ）；

P點(diǎn)坐標(biāo)（﹣5，﹣ ），Q點(diǎn)坐標(biāo)（3，﹣ ）

（3）

解：∠MCO=∠CAB=45°，

① 當(dāng)△MCO∽△CAB時(shí)， = ，即 = ，

CM= ．

如圖1

，

過M作MH⊥y軸于H，MH=CH= CM= ，

當(dāng)x=﹣ 時(shí)，y=﹣ +4= ，

∴M（﹣ ， ）；

當(dāng)△OCM∽△CAB時(shí)， = ，即 = ，解得CM=3 ，

如圖2

，

過M作MH⊥y軸于H，MH=CH= CM=3，

當(dāng)x=﹣3時(shí)，y=﹣3+4=1，

∴M（﹣3，1），

綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ ， ），（﹣3，1）

【解析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得P、Q關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，根據(jù)PQ的長(zhǎng)，可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得CM的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得MH的長(zhǎng)，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．