Question

【題目】定義:三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到該邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”.如圖1，△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)AD，若，則稱點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的“好點(diǎn)”.

（1）如圖2，△ABC的頂點(diǎn)是網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫出AB邊上的一個(gè)“好點(diǎn)”.

（2）△ABC中，BC=9，，，點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，求線段BD的長(zhǎng).

（3）如圖3，△ABC是的內(nèi)接三角形，OH⊥AB于點(diǎn)H，連結(jié)CH并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D.

①求證：點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”.

②若的半徑為9，∠ABD=90°，OH=6，請(qǐng)直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）或5；（3）①詳見解析；②.

【解析】

（1）作AB邊上的垂線或中線即可；

（2）作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)三角函數(shù)求出BE、CE、AE的長(zhǎng)，設(shè)DE為a，分①若點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)②若點(diǎn)D在點(diǎn)E右側(cè)，根據(jù)“好點(diǎn)”的定義進(jìn)行求解即可；

（3）①根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”證△AHC∽△DHB，再根據(jù)“好點(diǎn)”的定義判斷即可；

②連接AD，根據(jù)∠ABD=90°判斷AD為直徑，用勾股定理求出AH的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出DH的長(zhǎng)，根據(jù)①中的結(jié)論求出CH的長(zhǎng)即可求得比值.

（1）如圖所示：D點(diǎn)及為AB邊上的“好點(diǎn)”

（2）作AE⊥BC于點(diǎn)E，由，可設(shè)AE=4x，

則BE=3x，CE=6x，

∴BC=9x=9，∴，

∴BE=3，CE=6，AE=4，

設(shè)DE=a，

①若點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)，

由點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”知，，

∴，即，

解得，（舍去），

∴.

②若點(diǎn)D在點(diǎn)E右側(cè)，

由點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”知，，

∴，即，

解得，（舍去）

∴.

∴或5.

（3）①∵∠CHA=∠BHD，∠ACH=∠DBH

∴△AHC∽△DHB

∴，即

∵OH⊥AB

∴AH=BH

∴

∴點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”.

②連接AD.

∵∠ABD=90°

∴AD為直徑，

∵OH⊥AB，OH=6

∴ ，BD=2OH=12

∴BH=AH=

∴

由①得：

即

∴CH=

∴.