Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線y=

3

4

x上有一點A，AD⊥x軸于D，且AD=3，C是x軸上的一點，AC⊥AO，長度等于OD的線段EF在x軸上沿OC方向以1/s的速度向點C運動（運動前EF和OD重合，當(dāng)F點與C重合時停止運動，包括起點、終點），過E，F(xiàn)分別作OC的垂線交直角邊于點P、點Q，連接線段PD，QD，PQ，PQ交線段AD于點M，若設(shè)EF運動的時間為t（s）．
（1）寫出A點坐標(biāo)

 

．PE=

 

（用含t的代數(shù)式表示線段），其中自變量t的取值范圍為

 

；
（2）是否存在t的值，使得線段PD⊥QD？若存在，請求出相應(yīng)的t的值，若不存在，請說明理由；
（3）①當(dāng)t=

4

5

秒時，線段AM=

 

；
②求線段AM關(guān)于自變量t的函數(shù)解析式，并求出AM的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線方程和點的縱坐標(biāo)可以求出橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)；找到終點位置，可以知道t的極限值．
（2）把結(jié)論當(dāng)做已知條件，根據(jù)勾股定理或者三角形相似列出方程式，找到相應(yīng)的關(guān)系式，驗證是否在定義域內(nèi)即可．
（3）可以有多種做法，例如S_△APQ面積的多種求法、△PMH∽△PTQ等都可以列出方程式，根據(jù)定義域可以知道最大值．

解答：解：（1）∵AD⊥x軸于D，且AD=3點A過直線y=

3

4

x
∴代入函數(shù)式解得A點坐標(biāo)為（4，3）
解法①由題意得P點橫坐標(biāo)為t，過直線y=

3

4

x，所以縱為坐標(biāo)

3

4

t，即PE=

3

4

t；
解法②∵AP⊥AQ，AM⊥EF
易證△AOD∽△ADC∽△AOC∽△OPE∽△CQF，且三邊之比都為3：4：5，
求得PE=

3

4

t，DC=

9

4

．
∴t的取值范圍為0≤t≤

9

4

；

（2）不存在t的值使PD⊥QD，理由如下：
方法一（相似）
∵OE=DF=t，∴FC=

9

4

-t
∴QF=

4

3

(

9

4

-t)
若PD⊥QD，易證△PED∽△DQF
則

PE

DF

=

ED

QF

∴

3 4 t

t

=

4-t

4 3 ( 9 4 -t)

4-t=

9

4

-t
4=

9

4

這是不可能的，
∴不存在t的值使PD⊥QD
方法二（勾股定理的逆定理）
∵AP²+AQ²=（5-

5

4

t）²+（

5

3

t）²=25-

50

4

t+

25

16

t²+

25

9

t²（2分）
PD²+QD²=（PE²+DE²）+（DF²+FQ²）=（

3

4

t）²+（4-t）²+t²+（3-

4

3

t）²（1分）
∴AP²+AQ²≠PD²+QD²
∴PD⊥QD不可能（2分）
∴不存在t的值使PD⊥QD．

（3）①

4

3

解法如下，只要把當(dāng)t=

4

5

秒代入②中表達(dá)式
②方法一（面積法）：
∵AP⊥AQ，AM⊥EF
∴S_△APQ=

1

2

AP×AQ=

1

2

AM×ED+

1

2

AM×DF=

1

2

AM×EF
∴AM=

AP•AQ

EF

=

(5- 5 4 t)• 5 3 t

4

=

25 3 t- 25 12 t2

4

=-

25

48

t+

25

12

t²
=-

25

48

（t-2）²+

25

12

∴當(dāng)t=2秒時，AM最大值為

25

12

．
方法二（相似）
過P作PH⊥QF于T，交AD于H．
QT=3-

4

3

t_-

3

4

t=3_-

25

12

t
∵△PMH∽△PTQ
∴

PH

PT

=

MH

TQ

即

4-t

4

=

MH

3- 25 12 t

∴MH=-

25

48

t²-

34

12

t+3
∴AM=AD-HD-MH=-

25

48

t²+

25

12

t
∴當(dāng)t=2秒時，AM最大值為

25

12

方法三（函數(shù)法）
設(shè)直線PQ解析式為y=kx+b．
∵P（t，

3

4

t），Q（t+4，3-

4

3

t）
∴

3 4 t=kt+b 3- 4 3 t=k(t+4)+b

解得

k= 3 4 - 25 48 t b= 25 48 t2

∴y=（

3

4

-

25

48

t）x+

25

48

t2
∵M(jìn)_x=4
∴M_y=（

3

4

-

25

48

t）×4+

25

48

t2=3-

25

12

t+

25

48

t2=MD
∴AM=AD-MD
=3-（3-

25

12

t+

25

48

t2）
=-

25

48

t²+

25

12

t
∴當(dāng)t=2秒時，AM最大值為

25

12

．

點評：本題是函數(shù)與各種圖形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，在平常的練習(xí)中多加注意．每道題都有不同的做法，根據(jù)不同的知識點可以有很多種思路，嘗試著多種方法做題可以很好的鞏固所學(xué)知識．